Критерий Коши существование границы функции

Определение:Будем говорить что f удовлетворяет в точке a,условию Коши,если она опрелделена в некоторой проколотой окрестности в этой точке и $latex \forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )> 0:\forall x’ ,x»\in U_\delta ^0(a)\Rightarrow |f(x’)-f(x»)|< \varepsilon $
$latex 0< |x’-a|< \delta $
$latex 0< |x»-a|< \delta $

Теорема(Критерий Коши): Конечный предел в точке x=a существует $\Leftrightarrow$ f-удовлетворает условию Коши в точке а.

Доказательство

Необходимость: Пусть предел $\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2}$

$\forall x',x''\in U_{\delta }^{0}(a):|f(x')-f(x'')|=|(f(x')-A)+(A-f(x'')|\leq |f(x')-A|+|f(x'')-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$

Достаточность:Предположим что выполняется условие Коши в точке а. Воспользуемся определение по Гейне: $\lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A$

Пусть $\left \{ x_{n}\right \}^{\infty }$ -произведение последовательности $\in U_{\delta }^{0}(a) и$ и $\lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a$ .

Докажем что $\left \{ f(x_{n})\left. \right \}_{n=1}^\infty }$ не зависит от выбранного $\left \{ x_{n}\left. \right \}$ .

Согласно условию Коши мы имеем следующее:

$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}',{x}''\in U _{\delta }^{0}(a)\Rightarrow |f({x}'-f{x}'')|< \varepsilon$ . Т.к. $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon )$

Для $\delta _{\varepsilon } :\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |{x_{n}}-a|< \delta _{\varepsilon } ,$

$\forall m\geq N_{\varepsilon }:0< |{x_{m}}-a|< \delta _{\varepsilon } .$

$x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{0}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon$ -это следует из условия Коши.

$\forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon$ — $\left \{ f(x_{n}) \right \}$ фундаментальная $\Rightarrow$ по Критерию Коши $\left \{ f(x_{n}) \right \}$ -сходящаяся.

Покажем что все последующие $\left \{ f(x_{n}) \right \}$ будут сходится к одному и тому же числу А.

$\left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A$

$x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A$

${x}'_{n}\rightarrow {a}'\sim f({x}'_{n})\rightarrow {A}'$

$x_{1},{x}'_{1},x_{2},{x}'_{2},...\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}'_{1}),f(x_{2}),f({x}'_{2}),...\rightarrow A$

Теорема доказана.Рекомендации:

Для детального ознакомления с этой темой предлагаю обратится к учебникам:

Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1, Парагаф 4, Тема 4.9 Критерий Коши существование предела функций;
Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 1, Параграф 2 Предел функции;
Ильин В.А.,Позняк Э.Г.»Основы математического анализа» Часть 1,

Критерий Коши существование границы функции: 1 комментарий

Нельзя делать формулы картинками! Только laTeX выражения. Вот так [latex] \forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )> 0:\forall x’ ,x»\in U_\delta ^0(a)\Rightarrow |f(x’)-f(x»)|< \varepsilon [/latex]
Раздел «Разное» проставлен ошибочно. Меток нет. Тестов нет. Форматирование не очень качественное.

Ответить

Критерий Коши существование границы функции: 1 комментарий

Добавить комментарий Отменить ответ