Теорема Больцано-Вейерштрасса
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность .
Доказательство:
Предположим, что {xn}- ограниченна, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку [a;b].
Разделим [a;b] пополам. Мы получим два отрезка. Хотя бы один из них содержит бесконечное число членов последовательности. Выберем этот отрезок. Если оба обладают этим свойством, то выберем первый. Выбранный отрезок, который содержит бесконечное число членов данной последовательности, обозначим Δ1=[a1;b1] и его длина равна b1−a1=b−a2. Разделим отрезок Δ1 пополам, выберем из двух получившихся отрезков Δ2=[a2;b2] длина которого b2−a2=b−a22
Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность отрезков {Δn=[an;bn]} таких, что:
- Δ1⊃Δ2⊃…Δn⊃Δn+1⊃…
- limk→∞b−a2k=0
Следовательно, по определению, наша последовательность {Δn} стягивающаяся Тогда, по теореме Кантора, существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, то есть:
∃c:∀k∈N c∈Δk (1)
Покажем, что ∃{xnk}→c
Так как отрезок Δ1 содержит бесконечное число членов последовательности {xn}, то ∃n1∈N:xn1∈Δ1.
Отрезок Δ2 также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому:
∃n2>n1:xn2∈Δ2
Вообще, ∀k∈N ∃nk:xnk∈Δk, где n1<n2<…<nk−1<nk
Следовательно, существует подпоследовательность {xnk} последовательности {xn}
такая, что ∀k∈N ak≤xnk≤bk (2)
Условия (1) и (2) означают, что точка С и {xnk} принадлежат отрезку Δk=[ak;bk], и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка Δk то есть:
0⏟↓0≤|C−xnk|≤bk−ak=b−a2k⏟↓0 при k→∞ По теореме о трех последовательностях
limk→∞|C−xnk|=0⇒limk→∞xnk=c
Теорема доказана 
Замечание
Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать еще и так:
любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.
Интересно знать:
- Метод, примененный в доказательстве данной теоремы ,который состоит в последовательном делении пополам рассматриваемых промежутков, называется методом Больцано, он часто используется при доказательстве других теорем.
- Теорему о трех последовательностях называют также теорема о двух милиционерах. Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти. В разных странах её называют по-разному: теорема сжатия, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.
Пример
Показать, что всякая неограниченная сверху последовательность имеет частичный предел, равный +∞
Литература:
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
- Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.56-57 )
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (стр.20-21)
- Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2009.Вып. 11: Курс лекций по математическому анализу. Семестр I / Теляковский С. А. – 212 с. (стр. 63-64)
Тест
Тест на проверку знаний по теме: «Теорема Больцано-Вейерштрасса»
Пожалуйста, в интернет ссылка укажите название статьи и автора если он известен.