Задачи, которые приводят к понятию производной

1. Задача о скорости
   

   Пусть точка движется по прямой. $S=S(t)$ — путь пройденый точкой за время $t$ от начала движения. Путь пройденный точкой за время от $t$ до $t+\Delta t =$ $S(t+\Delta t) — S(t)$ .
   
   Средняя скорость: $V_{cp}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$
   Если движение точки — равномерное, то $V_{cp}$ — постоянная.
   Если же движение неравномерное, то $V_{cp}$ не меняется при изменении $\Delta t$ .
   Определение:
   Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент $t$: $V(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} V_{cp}=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$ .

2. Задача о касательной
   

   Пусть функция $f$ определена в $\delta$-окрестности точки $x_0$ и непрерывна в этой окрестности.
   
   Возьмем две точки на графике: $M_0 (x_0;y_0)$ и $M(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x))$ .
   Уравнение прямой, проходящей через точки $M$ и $M_0$ имеет вид $y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0)$, где $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, $\Delta x=x-x_0$.
   $\frac{\Delta y}{\Delta x}= \tan \alpha$
   Эту прямую называют секущей, а число $k=\tan \alpha$ — угловым коэффициентом секущей.
   $\Delta x \to 0 => \Delta y \to 0 => MM_0 = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0$
   Определение:
   Касательной кривой заданной уравнением $y=f(x)$ в точке $x_0$ называют предельное положение секущей при $\Delta x \to 0$.
   Если существует $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = k_0$, то существует предельное положение секущей.
   Таким образом, если существует $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$, то прямая, проходящая через точку $M_0$ с угловым коэффициентом $k_0$ называется касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Какие задачи рассматривались в данной теме?

   • Задача о скорости
   • Задача о касательной
   • Задача о круге
   • Задача об ускорении
   • Задача о давлении
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Скорость точки в момент t называют …
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Верно ли следующее утверждение?

   В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения аргумента к приращению функции.

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Нет, наоборот.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Сопоставьте следующие термины с задачами, в которых они использовались.

   Элементы сортировки

   • Мгновенная скорость
   • Угловой коэффициент секущей
   • Ускорение

   • Задача о скорости

   • Задача о касательной

   • Не использовался

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вопрос на знание задач

   • В задаче о касательной число k=tan α называют (угловым) (коэффициентом) касательной.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).
   

Рекомендуемая к прочтению литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962, глава 3, §1, с. 186-189