Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции. Примеры

Ранее мы уже доказали, что для любой интегрируемой на [a,b] функции f интеграл с переменным верхним пределом – непрерывная на [a,b] функция.

Теорема. Пусть функция f интегрируема на [a,b] и непрерывна в точке x_{0} \in [a,b]. Тогда функция F дифференцируема в точке x_{0} и F'(x_{0})=f(x_{0}).

Доказательство.

Спойлер

Пусть, например, a<x_{0}<b (в точках a и b можно рассматривать только односторонние производные). Тогда для любого h \neq 0 , такого, что x_{0} + h \in [a,b] , имеем

\frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h} = \frac{1}{h} ( \int_{a}^{x_{0}+h} f(t)dt - \int_{a}^{x_{0}} f(t)dt ) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t)dt.

Отсюда следует

| \frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h} - f(x_{0}) | = | \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t)dt - f(x_{0}) | = | \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} [f(t)-f(x_{0})]dt | \leq \frac{1}{|h|} | \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} | f(t)-f(x_{0}) | dt | \equiv \rho (h).

Если мы покажем, что \rho(h) \rightarrow 0 при h \rightarrow 0 , то тем самым теорема будет доказана. Для оценки \rho(h) предположим для определенности, что h>0. Зададим произвольное \varepsilon > 0 и, пользуясь непрерывностью функции f в точке x_{0} , найдем такое \delta > 0 , что для всех t , удовлетворяющих условию |t - x_{0}| < \delta , справедливо неравенство |f(t)-f(x_{0})| < \varepsilon . Если теперь 0<h<\delta, то получим

\rho(h) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} |f(t) - f(x_{0})|dt \leq \varepsilon

Отсюда следует, что \rho(h) \rightarrow 0 при h \rightarrow 0 .

Случай h<0 исчерпывается аналогичным образом. В точках x_{0} = a и x_{0} = b приведенные выше рассуждения достаточно применить для h>0 и h<0 , соответственно. \blacksquare

[свернуть]

Замечание.

Спойлер

Условие непрерывности функции f в точке x_{0} не является необходимым для дифференцируемости F в точке x_{0} . Например, если взять непрерывную на отрезке [a,b]  функцию f , то, по доказанной теореме, функция F будет дифференцируемой в каждой точке отрезка [a,b]. Изменим теперь значение функции f в одной точке. В результате получим разрывную функцию f . В то же время, как легко видеть, функция F останется прежней, т.е. \bar{F}(x) \equiv \int_{a}^{x} \bar{f}(t)dt = F(x) (x \in [a,b]) (поскольку изменение функции в конечном числе точек не влияет на величину ее интеграла). Таким образом, получим, что интеграл с переменным верхним пределом от разрывной функции может оказаться дифференцируемым.

[свернуть]

Пример 1.

Спойлер

Рассмотрим функцию

f(x) =    \begin{cases}  & \sin{\frac{1}{x}}, 0<x\leq 1, \\  & 0 , x=0.  \end{cases}

Эта функция ограничена на отрезке [0,1] и имеет единственную точку разрыва x_{0} = 0 . Значит, она интегрируема на [0,1] . Обозначим F(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt . Поскольку f  непрерывна в каждой точке x \neq 0 , то, по предыдущей теореме, функция F дифференцируема в каждой точке x \in (0,1] и F'(x) = \sin{\frac{1}{x}}. В точке x_{0}=0 функция f разрывна и поэтому предыдущая теорема неприменима. Однако можно показать, что существует F'+(0) = 0 .

[свернуть]

Пример 2.

Спойлер

Пусть f(x) = \text{sign } x, -1 \leq x \leq 1. Если -1 \leq x < 0 , то f(t) = -1, -1 \leq t \leq x и \int_{-1}^{x} f(t)dt = -(x-(-1)) = -(x+1).

Если же 0 \leq x \leq 1, то \int_{-1}^{x} f(t)dt = \int_{-1}^{0} f(t)dt + \int_{0}^{x} f(t)dt = -1+x.

Таким образом,

F(x) =    \begin{cases}  & -(x+1), -1 \leq x < 0, \\  & x-1, 0 \leq x \leq 1.  \end{cases}

Легко видеть, что в точке x_{0} = 0 функция F недифференцируема.

[свернуть]

Литература :

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции

Этот тест проверит ваши знания касательно темы «дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом»


Таблица лучших: Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции. Примеры: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *