---

Задача 1. (О вычислении пути)

---

Условие. Предположим, что $latex f(x)$ — скорость движения материальной точки по оси $latex OY$ и $latex f(x)>0$. Необходимо вычислить путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$.

Решение. Разобьём рассматриваемый промежуток времени от $latex a$ до $latex b$ на малые промежутки  (рис.3) 

$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$$ На указанном промежутке скорость приближенно можно считать равной и постоянной, например, $latex f(x_{k})$. Получаем, что путь, пройденный материальной точкой за время $latex \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ приближенно равен $latex f(x_{k})\triangle x_{k}$. Следовательно, путь пройденный от $latex a$ до $latex b$ приближенно равен:

$latex {S\approx f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$.                                                (1)

При уменьшении всех промежутков времени мы будем получать более точное значение пути. И так, чтобы получить точное значение пути, перейдём к пределу в формуле (1) :

$latex {S\approx \lim\limits_{\triangle x_{k}\to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$.                                       (2)

---

Задача 2. (О вычислении площади криволинейной трапеции)

---

В предыдущей задаче мы вычислили путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$, перейдя к пределу. В математике предел вида (2) называется определённым интегралом(или интегралом Римана) от функции $latex f(x)$  в пределах от $latex a$ до $latex b$ и обозначается:

$$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$

Рассмотрим рис.1   Сумма вида (1) равна сумме  площадей прямоугольников с основаниями $latex \triangle x_{k}$  и высотами $latex f( x_{k})$. Т.е., данная сумма равна площади изображенной на рис.1 ступенчатой фигуры, обозначенной светло- и тёмно-зеленым цветом. При стремлении к нулю длин всех отрезков $latex \triangle x_{k}$ площадь указанной ступенчатой фигуры будет стремиться к площади отмеченной на рисунке ступенчатой фигуры, лежащей под графиком функции $latex y=f(x)$ на отрезке $latex [a;b]$.

Эту криволинейную фигуру часто называют криволинейной трапецией . Аналогично задачи 1, перейдём к пределу:

$latex {S=\lim\limits_{\lambda \to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ , где  $latex \lambda = \max \triangle x_{k}$

и $latex S$ -площадь, отмеченной на рисунке (1) фигуры (криволинейной трапеции).

Вывод: площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:

[latex] S=\lim\limits_{\lambda \to 0 } \sum\limits_{n=1}^{k}f(x_{n})\triangle x_{n}[/latex] [latex]=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex]                                                                 (3)

Рассмотрим пример:

Условие. Вычислить площадь $latex S$, заключенную между графиком функции $latex y=\sin x$ на отрезке от $latex 0$ до $latex \pi$ и осью $latex OX$ (рис. 2)

Решение. По формуле (3) предыдущей задачи получаем: 

$${S=\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}$$

Так как одной из первообразных функции $latex f(x)=\sin x$ является функция $latex \Phi (x)=-\cos x$, то по формуле Ньютона -Лейбница получим: 

$$S={{\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}=(-\cos \pi)-(-\cos 0) }=2$$

---

Задача 3. (О вычислении массы линейного стержня по известной плотности)

---

Пусть задан прямолинейный стержень, который меняется вдоль оси (рис.3).
$latex \rho =\rho\ (x)$
Если бы плотность во всех участках стержня была бы одинаковой (однородный стержень), то масса m стержня :
$latex m=\rho (b-a)$, $latex \rho =const$
Но, так как плотность не является постоянной, то разобьем [a,b] на однородные участки (участки с одинаковой плотностью) :
$latex a=x_{o}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$
$latex \forall \ \xi _{i}\in \triangle x_{i}$ , где $latex \triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ $latex i=\overline{1,n}$
Масса каждого отрезка : $latex m\approx \rho (\xi _{i})\cdot \triangle x_{i}$ $latex \Rightarrow$ масса всего стержня равна пределу суммы $latex {m=\lim\limits_{x \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$

Замечание

В просмотренной задаче речь идёт о рассмотрении пределов сумм вида $latex {\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$, которые называются интегральными суммами

---

 

Список литературы:

• А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 243-258
• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.