Определение многочлена Тейлора

$1^{\circ}.$ Локальная формула Тейлора.

Если функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности $\mid x-x_{0}\mid<\varepsilon$ т.$x_{0}$ и имеет в этой окрестности производные $f'(x),\cdots,f^{(n-1)}(x)$ до $(n-1)$-го порядка включительно и в т.$x_{0}$ существует производная n-го порядка $f^{(n)}(x_{0})$, то
$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}(x-x_{0})^{k}+o(x-x_{0})^{n}$,       (1)

где $a_{k}=\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!},(k=0,1,\cdots,n).$

В частности, при $x_{0}=0$ имеем:

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}x^{k}+o(x^n).$     (2)

При указанных условиях представление (1) единственно.

Если в т.$x_{0}$ существует производная $f^{(n+1)}(x_{0})$, то остаточный член в формуле (1) может быть взят в виде $o((x-x_{0})^{n+1})$.

Из локальной формулы Тейлора (2) Получаем следующие 5 важных разложений:

I. $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})$

II. $sin(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})$

III. $cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\cdots +(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

IV. $(1+x)^{m}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n)!}x^{n}+o(x^{n})$

V. $ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})$

$2^{\circ}.$Формула Тейлора.

Если функция $f(x)$ определена на сегменте $\left [ a,b \right ]$ и имеет на этом сегменте непрерывные производные $f'(x),\cdots,f^{(n-1)}(x)$, при$a<x<b$ существует конечная производная $f^{(n)}(x)$, то

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+r_{n}(x)$   $(a\leq x\leq b),$, где

$r_{n}(x)=\frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!}(r-a)^{n}$     $(a<\theta<b),$

(остаточный член в форме Лагранжа), или

$r_{n}(x)=\frac{f^{(n)}(a+\theta_{1}(x-a))}{(n-1)!}(1-\theta_{1})^{n-1}(x-a)^{n}$     $(a<\theta_{1}<b),$

(остаточный член в форме Коши)

 

$P(x)=a_{0}+a_{1}\ast x+a_{2}\ast x^{2}+a_{3}\ast x^{3}+a_{4}\ast x^{4}+\cdots +a_{n-1}\ast x^{n-1}+a_{n}\ast x^{n}$

${P}'(x)=a_{1}+2a_{2}\ast x +3a_{3}\ast x^{2}+ 4a_{4}\ast x^{3}+\cdots +(n-1)a_{n-1}\ast x^{n-2}+ na_{n}\ast x^{n-1}$

${P}»(x)=2a_{2}+6a_{3}\ast x +12a_{4}\ast x^{2}+ \cdots +(n-1)(n-2)a_{n-1}\ast x^{n-3}+ (n-1) na_{n}\ast x^{n-2}$

$P^{(3)}(x)=6a_{3} + 24a_{4}*x + \cdots + (n-1)(n-2)(n-3)a_{n-1}*x^{n-4}+ (n-1)*$

$*(n-2)na_{n}*x^{n-3}$

$\cdots$

$P^{(n-1)}(x)=(n-1)!*a_{n-1}+ n!a_{n}*x$

$P^{(n)}(x)=n!a_{n}$

$\left. \begin{array}{l}P(0) = {a_0}\\P'(0) = {a_1}\\P»(0) = 2!*{a_2}\\{P^{(3)}}(0) = 3!*{a_3}\\\cdots \\{P^{(n — 1)}}(0) = (n — 1)!*{a_{n — 1}}\\{P^{(n)}}(0) = n!*{a_n}\end{array} \right\} \Leftrightarrow \left.\begin{array}{l}{a_0} = {P_0}\\{a_1} = \frac{{P'(0)}}{{1!}}\\{a_2} = \frac{{P»(0)}}{{2!}}\\{a_3} =\frac{{{P^{(3)}}(0)}}{{3!}}\\\cdots \\{a_{n — 1}} = \frac{{{P^{(n — 1)}}(0)}}{{n — 1!}}\\{a_n} = \frac{{{P^{(n)}}(0)}}{{n!}}\end{array} \right\}$

$P(x)=P(0)+\frac{{P}'(0)}{1!}x+ \frac{{P}»(0)}{2!}x^{2}+ \frac{P^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\frac{P^{(4)}(0)}{4!}x^{4}+\cdots + \frac{P^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}++ \frac{P^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$

(формула Тейлора для многочлена по степеням $x$).

Замечание

$P(x)=A_{0}+A_{1}(x-x_{0})+A_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots +A_{n}(x-x_{0})^{n}$

$A_{k}=\frac{P^{(k)}(x_{0})}{k!}\Rightarrow P(x)=P(x_{0})+\frac{{P}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{{P}»(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots +\frac{P^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$

(ф-ла Тейлора для многчлена по степеням $(x-x_{0}))$

 

Частный случай формулы Тейлора при $x_{0}=0$ называется формулой Маклорена.

 

Пусть функции f и g в т. $x_{0}$ такие, что:
$f(x_{0})=g(x_{0})$
${f}'(x_{0})={g}'(x_{0})$
${f}»(x_{0})={g}»(x_{0})$
$\cdots$
$f^{(n)}(x_{0})=g^{(n)}(x_{0})$
Следует ожидать, что функции f и g в окрестности т.$x_{0}$ похожи (графиками). И тогда функцию f локально можно заменить на g.

Нас будет интересовать g(x) как многочлен. Т.е. $g(x)=P_{n}(x_{0},x)=\overbrace{c_{0}}^{f(x_{0})}+\overbrace{c_{1}}^\frac{{f'(x_{0})}}{1!}(x-x_{0})+\cdots +\overbrace{c_{n}}^\frac{{f^{(n)}(x_{0})}}{n!}(x-x_{0})^{n}$
$f(x)\approx g(x)$
$f(x_{0})=P_{n}(x_{0},x)$
${f}'(x_{0})={P}_{n}'(x_{0},x)$
$\cdots$
$f^{(n)}(x_{0})=P_{n}^{(n)}(x_{0},x)$

Итак, многочлен $P_{n}(x,x_{0})=f(x_{0})+\frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\cdots + \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$
Многочлен Тейлора функции f в т.$x_{0}$ порядка n.

 

Пример.

Разложить многочлен $P(x)=-4x^{3}+3x^{2}-2x+1$ по степеням $x+1$.

Решение: Здесь $x_{0}=-1, P'(x)=-12x^{2}+6x-2, P»(x)=-24x+6, P^{(3)}(x)=-24.$

Поэтому $P(-1)=10, P'(-1)=-20, P»(-1)=30, P^{(3)}(-1)=-24.$ Следовательно,

$P(x)=10+\frac{-20}{1!}(x+1)+\frac{30}{2!}(x+1)^{2}+\frac{-24}{3!}(x+1)^{3},$

т.е. $-4x^{3}+3x^{2}-2x+1=10-20(x+1)+15(x+1)^{2}-4(x+1)^{3}.$

 

 

Список литературы:

1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)

2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы, Москва 1972, стр.138-139.

3. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.