Вступление в теорию действительных чисел

Множество вещественных чисел

Всякую дробь вида $\pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{n}…$ , где $a_{0}$ — целое неотрицательное число, а $a_{i}$ — десятичные знаки $(0,1,2,3,4,…,9)$ назовём вещественным (или действительным) числом.

(если перед дробью стоит $+$ , то его опускают)

Множество таких чисел называют множеством вещественных чисел и обозначают $\mathbb{R}$ .

Если дробь $\pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ является периодической, то её называют рациональным числом, а если она непериодическая дробь, то это число иррациональное.

Например: $x^{2}=2$

$x=\pm\sqrt{2}=1,41421…$

$x$ — иррациональное число.

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

$\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ — множество иррациональных чисел.

Сравнение вещественных чисел

1.Пусть $\alpha$ и $\beta$ — неотрицательные вещественные числа.

$\alpha = a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ ; $\beta = b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}…$ ;

$\alpha = \beta$ $\Leftrightarrow$ $a_{k}=b_{k}$ , $k=0,1,2,…$

$\alpha < \beta$ , либо когда $a_{0} < b_{0}$ , либо если $a_{0} = b_{0}$ и $\exists n:a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{n-1}=b_{n-1}; a_{n}<b_{n}$ .

2. Пусть $\alpha$ — неотрицательное и $\beta$ — отрицательное, тогда $\alpha > \beta$ .

3. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — отрицательные, тогда

$\alpha = \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |=\left | \beta \right |$ ;

$\alpha < \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |>\left | \beta \right |$ ,

где $\left | \alpha \right |=\left | \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}… \right |=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ ; $\left | \beta \right |=\left | \pm b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}… \right |=b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}…$

Приближение вещественных чисел рациональными числами

Покажем, что любое вещественное число можно приблизить с любой степенью точности рациональными числами.

Возьмём вещественное число $a=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \ldots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \ldots$

Обрывая эту дробь на $n$ -ном знаке после запятой получим рациональное число:
${a}’=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0)$
Из правила сравнения вещественных чисел видно, что для $\forall n \in \mathbb{R}:$
$a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0) <$ $\underbrace{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \cdots}_{a}<$ $a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}+\frac{1}{10^{n}}$
Это неравенство значит, что число $a$ заключено между рациональными числами, разность между которыми равна $\frac{1}{10^{n}}$ .

$\frac{1}{10^{n}}<\varepsilon$ ; $\varepsilon-$ фиксируемое $\Rightarrow 1<\varepsilon 10^{n}$ $\Rightarrow \frac{1}{\varepsilon}<10^{n} \Rightarrow$ $n> \lg \frac{1}{\varepsilon}.$

Возьмём, например $\varepsilon= \frac{1}{10^{3}}$ .

Получаем $n>\lg 10^{3} \Rightarrow n>3$ .

Вывод: для любого вещественного вещественного числа $a$ и для любой наперёд заданной точности $\varepsilon$ существуют $\alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{Q}$ такие, что $\alpha_{1} \leq a \leq \alpha_{2}.$ $\alpha_{2}-\alpha_{1}<\varepsilon$ .

Лемма

Если $\alpha$ и $\beta$ — вещественные числа. $\alpha ,\beta \in\mathbb{R}(\alpha < \beta )$ , то $\exists r \in\mathbb{Q}:\alpha <r<\beta$ .
$\square$ $1)$ Если $\alpha$ и $\beta$ — рациональные, то $r=\frac{\alpha +\beta }{2}$ .
$1)$ Если одно из чисел $\alpha$ и $\beta$ иррациональное.
Допустим $\beta$ — иррациональное, тогда $\beta$ — бесконечная непереодическая дробь. Допустим $\alpha > 0 \Rightarrow \beta > 0$ (так как $\alpha < \beta$ ), тогда существует номер $p$ , такой что $a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{p-1}=b_{p-1}$ , $a_{p}<b_{p}$ .
Так как $\beta$ — иррациональное, то оно не может быть конечной десятичной дробью с периодом $«0»$ . Поэтому существует номер больше $p$ . Например $p+n$ , такой что $b_{p+n}>0$ .
Имеем $r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{p-1}b_{p}…b_{p+n-1}(0)$ .
Получили число $r$ , такое что $\alpha<r<\beta$ . $\blacksquare$

Аксиомы действительных чисел

Множеством $\mathbb{R}$ называется множество, на котором выполняются следующие условия:

$1)$ Во множестве $\mathbb{R}$ определена операция «сложение»: $\forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto a+b\in\mathbb{R}$
a. $a+b=b+a$ (сложение коммутативно);
b. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (сложение ассоциативно);
с. $\exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in\mathbb{R}:a+0=a$ (наличие нейтрального элемента);
d. $\forall a\in\mathbb{R}$ $\exists «-a»:a+(-a)=0$ (наличие противоположного элемента).
Число $a+(-b)$ называется разностью чисел $a$ и $b$ и обозначаются $a-b$ .

$2)$ В $\mathbb{R}$ определена операция «умножение»: $\forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto ab\in\mathbb{R}$
а. $ab=ba$ (коммутативность умножения);
b. $a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность умножения);
с. $\exists 1\in\mathbb{R}: \forall a\in\mathbb{R}: a*1=a$ (наличие нейтрального элемента);
d. $\forall a\neq 0:\exists a^{-1}\in\mathbb{R}:a*a^{-1}=1$ (наличие противоположного элемента).
$a*b^{-1}$ — частное деление $a$ на $b$ и обозначается $\frac{a}{b}$ или $a:b$ .

$3)$ Выполняется дистрибутивный закон (связь сложения и умножения):
$\forall a,b,c\in \mathbb{R}: a(b+c)=ab+ac$ .
$4)$ $\forall a\in \mathbb{R}: a<0$ либо $a=0$ , либо $a>0$ .

При этом, если $a>0$ и $b>0$ $\Rightarrow$ $a+b>0$ , $ab>0$ .

Числа больше 0 называются положительными. Числа меньше 0 называются отрицательными.

Если $a-b>0$ , то пишут $a>b$ ;

Если $a-b<0$ , то пишут $a<b$ ;

Если $a-b=0$ , то пишут $a=b$ .

Для множеств:
Для $A,B \subset \mathbb{R}$
Запись $A \leq B$ означает, что $\forall a \in A, \forall b \in B: a \leq b$ .
Если $A= \left \{a \right \}$ (множество из одного элемента) и $A \leq B$ , то $a \leq B$ .
Непрерывность множества $\mathbb{R}$ заключается в том, что в $\mathbb{R}$ нет «щелей», а именно справедлива:

Аксиома непрерывности

$\forall A,B \subset \mathbb{R} (A \neq \varnothing, B \neq \varnothing ):$ $a \leq b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R} :$ $a \leq c \leq b$ .
Неравенство Бернулли
Пусть $x\in \mathbb{R}, x\geq 1, n\in \mathbb{N}$ . Тогда
$\left ( 1+x \right )^{n} \geq 1+nx$
Доказательство:
Если n=1 неравенство очевидно. Допустим, оно выполняется при $n \in \mathbb{N}$ . Докажем его справедливость при $n+1 \in \mathbb{N}$ . Действительно:

$\left ( 1+x \right )^{n+1}=$ $\left ( 1+x \right )^{n}\left ( 1+x \right )\geq \left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )$ ;

$\left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )=$ $1+\left ( n+1 \right )x+nx^{2}\geq 1+\left ( n+1 \right )x$ .

Что и требовалось доказать. $\blacksquare$