Арифметические операции со сходящимися последовательностями

Теорема (арифметические операции со сходящимися последовательностями)

Пусть последовательность $\underset{n\to\infty}{\left\{x_{n}\right\}\rightarrow a}$, а $\underset{n\to\infty}{\left\{y_{n}\right\}\rightarrow b}$. Тогда верны следующие утверждения:

1. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n}\pm y_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}\pm\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=a\pm b$.
2. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n}\cdot y_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=a\cdot b$.
3. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n}}{ y_{n}}=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}}=\frac{a}{b},\;b\neq 0,\;y_{n}\neq 0$.

Доказательство.

1. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left ( a+\alpha_{n} \right )$
   $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left ( b+\beta_{n} \right )$,
   где $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$ — бесконечно малые последовательности.
   $x_{n}+y_{n}=\left(a+\alpha_{n}\right)+\left(b+\beta_{n}\right)=\left(a+b\right)+\left(\alpha_{n}+\beta_{n}\right)=a+b$
2. $x_{n}=a+\alpha_{n}$, $y_{n}=b+\beta_{n}$, где $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$ — бесконечно малые последовательности.
   $x_{n}\cdot y_{n}=\left(a+\alpha_{n}\right)\cdot\left(b+\beta_{n}\right)=ab+a\beta_{n}+\alpha_{n}b+\alpha_{n}\beta_{n}=ab$
   (по свойству бесконечно малых последовательностей)
3. $x_{n}=a+\alpha_{n}$, $y_{n}=b+\beta_{n}$, где $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$ — бесконечно малые последовательности.
   $\frac{a+\alpha_{n}}{b+\beta_{n}}=\frac{a}{b+\beta_{n}}+\alpha_{n}\cdot\frac{1}{b+\beta_{n}}=\frac{a}{b}$
   (по свойству бесконечно малых последовательностей)

Примеры

1. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n+\cos n}{2^{n+1}+\sin n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n\left(1+\frac{1}{2^n}\cos n\right)}{2^{n+1}\left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\sin n^2\right)}=\frac{1}{2}\frac{\left(1+0\right)}{\left(1+0\right)}=\frac{1}{2}$
2. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[n]{a}}}=\frac{1}{1}=1$ при $a>0$
3. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(-2\right)^n+3^n}{\left(-2\right)^{n+1}+3^{n+1}}=?$
   $\frac{\left(-2\right)^n+3^n}{\left(-2\right)^{n+1}+3^{n+1}}=$ (делим числитель и знаменатель на $3^{n+1}$) $=\frac{\frac{\left(-2\right)^n}{3^{n+1}}+\frac{1}{3}}{\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1}=\frac{\frac{1}{3}\left(\frac{-2}{3}\right)^n+\frac{1}{3}}{\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1}$
   Предел частного = частному пределов, поэтому:
   $\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3}\left(\frac{-2}{3}\right)^n+\frac{1}{3}\right)}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1\right)}=\frac{0\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{0+1}=\frac{1}{3}$.
4. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2n^2}+\sqrt[n]{5}-\frac{\sin^2 3}{3^n}\right)$
   Предел суммы равен сумме пределов, поэтому:
   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2n^2}+\sqrt[n]{5}-\frac{\sin^2 3}{3^n}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n^2}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{5}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin^2 3}{3^n}=0+1+0=1$.

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
• Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.,1969. стр. 16-17

Арифметические операции со сходящимися последовательностями

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

С помощью этого теста пользователь проверит свои навыки в нахождении пределов сходящихся последовательностей.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Поздравляю, вы завершили тест!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 15 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Какой операции нет в теореме об арифметических операциях над сходящимися последовательностями?

   • Частное
   • Сумма
   • Разность
   • Композиция
   • Произведение
   Правильно
   

   Это было несложно, правда?

   Неправильно
   

   Подсказка

   Вспомните, какие операции являются арифметическими.
2. Задание 2 из 3

   2.

   Расположите значения следующих выражений в убывающем порядке.

   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\ln n$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a},\:a>1$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{10000n}{n^2+1}$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2-n^4}{n\left(3n^3+2\right)}$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{2n+1}a^n,\:a>1$$
   Правильно 10 / 10Баллы

   Неправильно / 10 Баллы
3. Задание 3 из 3

   3.

   Какие из следующих выражений равносильны?

   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{n\cdot\ln e^n}$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{9\cdot 2^n}{6\cdot 2^{n-1}}\right)$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\left|\cos n\right|}$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{6n\left(n-1\right)}{2n^2}$$
   • <script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script> $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{18n^2}\cdot\sqrt{2}}{2n}$$
   • $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}6\sqrt[n]{e}$$
   Правильно 4 / 4Баллы

   Неправильно / 4 Баллы