Определение
Последовательность latex{xn} называется бесконечно большой, если latex∀ε>0∃Nε>0∀n≥Nε|xn|≥ε, или latexlimn→∞xn=∞.
Геометрическая интерпретация
Назовем latexε-окрестностью точки latex∞ множество latexE={x∈R:|x|>ε}.
Введем множества latexE1={x∈R:x<−ε} и latexE2={x∈R:x>ε}. Назовем эти множества latexε-окрестностями точек latex−∞ и latex∞ соответственно. Тогда latexE=E1∪E2.
Теорема (связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
- Если latex{xn} — бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера latexn определена последовательность latex{1xn}, которая является бесконечно малой.
- Если все элементы бесконечно малой последовтельности latex{αn} отличны от нуля, то последовательность latex{1αn} — бесконечно большая.
Доказательство.
- Пусть latex{xn} — бесконечно большая последовательность, т.е. latex∀ε>0∃Nε>0∀n≥Nε|xn|≥ε. Это означает, что при latexn≥Nε все элементы latexxn≠0, поэтому последовательность latex{1xn} имеет смысл с номера latexNε.
Пусть latexA — любое положительное число, тогда для числа latex1A latex∃N1:∀n≥N1|1xn|<A, что по определению означает, что последовательность latex{1xn} — бесконечно малая. - Второе доказательство проводится аналогично.
Свойства бесконечно больших последовательностей
- Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.
- Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
- Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
- Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.
Доказательство.
- Пусть latex{xn},{yn} — бесконечно большие последовательности.
По определению:
latex∀ε>0∃N1>0:∀n≥N1|xn|≥ε и latex∀ε>0∃N2>0:∀n≥N2|yn|≥ε.
Тогда для последовательности latex{xn+yn}:
latex∀ε>0∃N=max{N1,N2}>0:∀n≥N|xn+yn|≥ε, что означает, что последовательность latex{xn+yn} — бесконечно большая. - Пусть последовательность latex{xn} — бесконечно большая, latex{yn} — ограниченная. Тогда по определению latex∀ε>0∃Nε>0∀n≥Nε|xn|≥ε и latex∃C:∀n∈N|yn|<C.
Рассмотрим latex|xn+yn|:
latex|xn+yn|=|xn|⋅|xn+yn||xn|=|xn|⋅|xn+ynxn|=|xn|⋅|xnxn+ynxn|=|xn|(1+0)=|xn|≥ε
(используются свойства модулей, свойства бесконечно малых последовательностях и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
Получили: latex∀ε>0∃Nε>0∀n≥Nε|xn+yn|≥ε, что означает, что последовательность latex{xn+yn} — бесконечно большая. - Доказательство аналогично предыдущему.
- Пусть последовательность latex{xn} — бесконечно большая, latexC≠0 — константа. Тогда по определению latex∀ε>0∃Nε>0∀n≥Nε|xn|≥ε.
Рассмотрим latex|xn⋅C|:
latex{xn}→∞,⇒{1xn}→0 (по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями).
latexC — константа, latex⇒{1C} — также константа, т.е. ограниченная.
latex{1xn⋅C}={1xn⋅1C}→0⇒{xn⋅C}→∞, что означает, что последовательность latex{xnyn} — бесконечно большая.
(используются свойства бесконечно малых последовательностей и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
Примеры.
- Последовательность latex{n} является бесконечно большой, т.к. latex∀ε0∃N=[ε]+1:∀n≥Nn>ε.
- Последовательность latex{n2n+1} является бесконечно большой, т.к. latexn2n+1=n1+1n→∞1+0=∞.
- latexn(cosn)2=n⋅1(cosn)2 — бесконечно большая, т.к. latexlimn→∞n=∞, а latex1(cosn)2 — ограниченная, сохраняющая знак.
- latex{−√n}
Выберем произвольное число latexε>0:−√n≤−ε;N>ε2. Получили: latex∀ε>0∃N=[ε2+1]:∀n≥N−√n<−ε, т.е. latexlimn→∞(−√n)=−∞.
Литература
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
- Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу,М.,1969. стр.15-17
- Свойства бесконечно малых последовательностей
- Основные свойства бесконечно больших последовательностей
Тест по теме «Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности»
Таблица лучших: Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
В определении бесконечно большой последовательности ( в самом начале) допущена ошибка. Модуль икс должен быть строго больше эпсилон, иначе задаётся просто некоторая ограниченная снизу последовательность.
Я не вижу ошибки.
Если для любого сколь угодно большого числа все члены последовательности, начиная с некоторого номера, будут больше этого числа (или равны ему), то последовательность называется бесконечно большой.