Подпоследовательности
Определение.
Пусть задана некоторая последовательность {xn} и
n1<n2<…<nk<…
есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел.Тогда последовательность
xn1,xn2,…xnk…
называется подпоследовательностью последовательности {xn}.
Пример.
Пусть задана последовательность
1,12,13,..,1n,…
Запишем некоторые ее подпоследовательности:
1,13,15,…,12n−1… (n1=1,n2=3,…,nk=2k−1,…);
12,14,18,…,12n,… (n1=2,n2=4,…,nk=2k,…);
15,110,115,…,15n,… (n1=5,n2=10,…,nk=5k,…);
Но последовательность
1,13,12,14,…,1n,…
уже не является подпоследовательностью последовательности 1,12,..,1n,….
Определение.
Будем писать
x→+∞ (limx→∞=+∞)
и говорить, что последовательность {xn} стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа c найдется номер N∈N, такой что xn>c при любом n>N.
Аналогично даются определения для случая x→−∞,x→∞.
Частичный предел последовательности
Определение.
Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.
Пример.
Пусть xn=(−1)n.Эта последовательность расходится, но ее подпоследовательности x2k и x2k−1 сходятся соответственно к 1 и -1.Таким образом эти числа являются частичными пределами последовательности xn=(−1)n.
Верхний и нижний пределы
Определение.
Пусть {xn} — некоторая последовательность, а L — множество всех её частичных пределов.Тогда supL — называется верхним пределом последовательности и обозначается supL=¯limn→∞xn.
Нижний предел:
infL=lim_n→∞xn
Пример 1.
Для последовательности xk=(−1)k:
lim_n→∞xk=limn→∞infk≥n(−1)k=limn→∞(−1)=−1.
¯limn→∞xk=limn→∞supk≥n(−1)k=limn→∞(1)=1.
Пример 2.
Для последовательности xk=−k2:
lim_n→∞(−k2)=−∞.
¯limn→∞(−k2)=limn→∞supk≥n(−k)2=limn→∞(−n2)=−∞.
Литература.
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
- Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1,стр. 94
Подпоследовательности. Частичный предел последоват ельности. Верхний и нижний пределы
Тест
Формулы не должны быть картинками даже в тестах.
Обязательно проставьте метки (это ключевые слова и словосочетания для поиска)
Почему Вы объединили несколько записей в одну? Разве так было на страничке «Математический анализ»?