Теорема о существовании верхней и нижней грани

Если $X \neq \varnothing$ и $X$ — ограничено сверху (снизу) в $\mathbb{R}$, то $\exists \sup X<\infty. (\exists \inf X>-\infty)$

$\square$ Докажем случай для supremum’а.

Пусть $E$ — множество всех верхних границ множества $X$, то есть $X\leq E.$ По аксиоме непрерывности $\exists c \in \mathbb{R}:X\leq c \leq E.$

$\left.\begin{matrix} X\leq c\leq E; \Rightarrow X\leq c;\\X\leq c\leq E; \Rightarrow c\leq E; \end{matrix}\right\} \Rightarrow c=\sup X<\infty.$ $\blacksquare$

Аналогично доказывается существование infimum’а.

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.8.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.45.

Подробнее на:

Wikiversity