Вычисление пути и его длины.

Найдём длину первого витка спирали Архимеда:

$r=\alpha \varphi; 0\leq \varphi \leq 2\pi$

Запишем формулу длины для этого случая:

$L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{(\alpha \varphi \cos \varphi)’^2+(\alpha \varphi \sin \varphi)’^2}d\varphi$

Упрощаем её, раскрываем скобки и вспоминаем о тригонометрической единице:

$L=\alpha \int_{0}^{2\pi }\sqrt{1+\varphi ^2}d\varphi$

К счастью, этот интеграл — табличный — а, точнее, частный случай табличного (таблицу интегралов, содержащую его, можно найти тут) и равен:

$L=\alpha (\pi \sqrt{1+4\pi ^2}+\frac{\ln (2\pi + \sqrt{1+4\pi ^2})}{2})$

Найти длину графика функции $y=x^\frac{3}{2}$ на отрезке $[0;4]$

Мы получаем интеграл:

$L=\int_{0}^{4} \sqrt{1+(y’)^2}dx$

$L=\int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx$

Делаем небольшую замену переменной:

$q=\frac{9}{4}x+1; dq=\frac{9}{4}dx$

$L=\frac{4}{9}\int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}d(1+\frac{9}{4}x)$

$L=\frac{4}{9}\int_{1}^{10} \sqrt{q}dq$

И решаем образовавшийся интеграл:

$L=\frac{4}{9}*\frac{2}{3}q^{\frac{3}{2}}|^{10}_{1}$

$L=\frac{8}{27}*(10\sqrt{10}-1)$

Здесь мы доказываем, что верна формула $L'(t)=\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}$.
Затем мы избавляемся от производной длины кривой:

$L=\int \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}dt$

Затем находим длину кривой между двумя точками:

$L=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}dt$, где $t_1$ и $t_2$ — координаты $t$ точек, ограничивающих часть кривой.

И дальше приспосабливаем последнюю формулу под обычный и полярный способы задания функций.