Processing math: 100%

Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

Определения

Путем на плоскости называется отображение t↦(φ(t),ψ(t)) отрезка [α,β] в R2, задаваемое парой непрерывных функций φ и ψ. Это означает, что каждому значению t∈[α,β] ставится в соответствие точка плоскости с координатами (x,y), где x=φ(t),y=ψ(t).
След пути — множество точек {(φ(t),ψ(t))∈R2:t∈[α,β]}.
Длина пути — точная верхняя грань длин ломанных, вписанных в след пути.
Если длина пути конечна, то путь называется спрямляемым.
Если функции φ и ψ непрерывно дифференцируемы на отрезке [α,β], то путь γ=(φ,ψ) называется дифференцируемым.

Теорема

Дан путь γ :  {x=φ(t)y=ψ(t)

Пусть γ=(φ,ψ) непрерывно дифференцируемый путь на отрезке [α,β].
Тогда L(γ)=∫βα√[φ‘(t)]2+[ψ‘(t)]2dt, где L(γ) — длина пути.

Доказательство

Часть 1

◻ Π:α=x0<x1<…<xn=β — произвольное разбиение отрезка [α,β]. Возьмём ломаную, проведённую между точками с соседними номерами. Очевидно, её длина:
S=Σn−11√(xi+1−xi)2+(yi+1−yi)2 — как сумма расстояний между соседними точками.
По формуле конечных приращений:

  • xi+1−xi=φ‘(ti)(ti+1−ti);
  • yi+1−yi=ψ‘(ti)(ti+1−ti);

Тогда длина ломаной будет равна: S=Σn−11√(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2)(ti+1−ti).
Обозначим наибольшие значения производных ψ‘(t) и φ‘(t) :
L=sup(|ψ‘(t)|) и ¯L=sup(|φ‘(t)|).
Очевидно: S≤√L2+¯L2(T−t0), T и t0  — границы отрезка. Из неравенства делаем вывод, что путь спрямляем, так как длина ломаной ограничена сверху.
Аналогично, можно получить формулу:
S≥√l2+¯l2(T−t0), где l=inf(|ψ‘(t)|),¯l=inf(|φ‘(t)|)

Часть 2

У нас имеются выведенные в части 1 неравенства:

  • S≤√L2+¯L2(T−t0);
  • S≥√l2+¯l2(T−t0);

Получаем: √L2+¯L2(T−t0)≥S≥√l2+¯l2(T−t0),p=inf(S)
А теперь возьмём точку a1 на нашей дуге с координатами (t1,y1). Придадим её абсциссе приращение Δt и получим точку a2(t1+Δt,y2). Получили две точки на дуге и часть дуги ограничена этими точками. Применим к этой части наше двойное неравенство.
При Δt→0 левая часть стремится к √(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2Δt. Аналогично, для правой.
Получаем √(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2Δt≥S≥√(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2Δt. Преобразуем это двойное неравенство:
√(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2≥SΔt≥√(φ‘(t))2+(ψ‘(t))2.
L‘(γ)=√(φ‘(t))2+((ψ‘(t))2.
Тогда L(γ)=∫βα√[φ‘(t)]2+[ψ‘(t)]2dt, где L(γ) — длина пути. ◼

Замечание: В первоисточниках, использованных при написании этого материала, доказательство теоремы не разбивается на 2 части. Тем не менее, для большего удобства здесь оно разбито на 2 основных части.

Следствия из теоремы

Из доказанной выше формулы получаются три формулы, описанные здесь и применяемые на практике.

Литература:

  1. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 2, стр. 192 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 1, стр. 192 (определения, теорема).
  2. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г.,  том 2, стр. 169 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 1, стр. 560,562-563 (определения, теорема).

Тест

Таблица лучших: Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Автор: Павел Бакалин

Родился я лет 17 назад в одесском роддоме. Спустя 5 лет пошёл в школу, из которой спустя 3 года перешёл в гимназию, из которой через 2 года попал в лицей, в котором продержался 5 лет, и откуда меня вывели в ИМЭМ, где я пока что и учусь (уже почти год)

Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия: 3 комментария

  1. Стало лучше, только нужно уточнить некорректные формулировки типа «Поделим линию на n точек».
    Обязательно нужно выполнить требования указанные в задании.
    В тестах использованы не все возможные типы вопросов.

    Ответить

  2. Материал всех трех Ваших записей изложен на одной (192-й) странице учебника Фихтенгольца? Вы не ошибаетесь?

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *