Заміна змінної в інтегралі Рімана. Приклади.

Опр. Интеграл в смысле Римана. Если функция $f(x)$ определена на $[a;b]»$ и $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n}=b$, то интегралом функции $f(x)$ на сегменте $[a,b]$ называется число $\huge \int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{max|x_{i}|\rightarrow 0}{\lim}\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum }}f(\varepsilon _{i})\Delta x_{i}$,

где $x_{i}\leq \varepsilon _{i}\leq x_{i+1}$ и $\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}$.

Замена переменной в определённом интеграле (по конспекту). Пусть $f\in C(a_{0},b_{0}),\varphi \in C(\alpha _{0},\beta _{0})$, при чем если $t\in (\alpha _{0};\beta _{0})\Rightarrow \varphi (t)\in (a_{0};b_{0})$, тогда если $\alpha$ и $\beta$ $\in (\alpha _{0};\beta _{0})$, и $a=\varphi (x),b=\varphi (x) \Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi ‘(t)dt$

Доказательство. Так как функция $f\in C(a_{0};b_{0})\Rightarrow f\in C[a;b]\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, где $F'(x)=f(x)$, для любого $x\in [a;b]$

С другой стороны так как $\frac{\partial }{\partial t}{F[\varphi (t)]}=F'(\varphi (t))\varphi ‘(t)=f[\varphi (t)]\varphi ‘(t)$
$F[\varphi (t)]$-первообразная для $f[\varphi (t)]\varphi ‘(t)$ и тогда по Н-Л $\Rightarrow \int_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t)]\varphi ‘(t)dt=F[\varphi (t)]|_{\alpha }^{\beta }=F[\varphi (\beta )]-F[\varphi (\alpha )]=F(b)-F(a)$
Пример. Если функция $f(x)$ парная и непрерывная на $[-a;a]$, то $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$ а если функция $f(x)$ непарная та непрерывная на $[-a;a]$, то

$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0.$

Для  доказательства уравнений в обоих случаях нужно разбить интеграл на два

$\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx$

и во втором интеграле положить $x=-t$ .

Источники:

1) Конспект

2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.184