Определение интегральных сумм и их пределов

Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана

Определение 1. (Интегральная сумма)

$\triangle$ Интегральной суммой  для функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ называется сумма вида

$\underbrace{\sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}},$   причем эта сумма имеет конечный предел $I$ если для каждого $\varepsilon >0$ найдется такое число $\delta >0$, что при $(max\ \triangle x_{k})<\delta$ неравенство $\underbrace{\left | \sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}-I \right |<\varepsilon}$ выполняется при любом наборе числе $\xi _{k}.$ $\blacktriangle$

Определение 2. (Верхние и нижние суммы)

Суммы

$S=M_{1}\triangle x_{1}+M_{2}\triangle x_{2}+…M_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i\triangle x_{i}}}$

и

$S=m_{1}\triangle x_{1}+m_{2}\triangle x_{2}+…m_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i\triangle x_{i}}}$

называются соответственно верхней и нижней суммами функции $f(x)$ для данного разбиения $T$ сегмента $[a;b]$.

Рисунок 1. Разбиение сегмента $[a;b]$

.Замечание. Суммы такого вида называют суммами Дарбу.

Список литературы:

• А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 244-246
• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 2), 5-е издание, 1964 г., глава 9, §1, стр. 97-100

Тест (Определенный интеграл Римана)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по темам:

1. Определенный интеграл Римана.

2. Интегральные суммы.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. История 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 14 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   
   Если функция $f(x)$  непрерывна на  $[a,b]$ , то предел интегральной суммы существует и …

   • не зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек
   • зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек
   • не зависит от способа разбиения, но зависит от выбора промежуточных точек
   • зависит от способа разбиения, но не зависит выбора промежуточных точек
   Правильно 1 / 1Баллы

   Неправильно / 1 Баллы

   Подъучи ещё и снова приходи
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 4

   
   Вычислите значения каждого интеграла и разместите их, начиная от меньшего (по значению) к большему :

   1. $\int_{2}^{4}xdx$

   2. $\int_{0}^{1}e^{x}dx$

   3.$\int_{2}^{3}2dx$

   4. $\int_{2}^{2}\sin ^{2}x-x^{10}+5x^{3}$

   • 4
   • 2
   • 3
   • 1
   Правильно 4 / 4Баллы

   Неправильно / 4 Баллы
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 6

   
   Кто есть кто?

   (Риман=3 балла)

   Элементы сортировки

   • Буняковский
   • Риман
   • Ньютон
   • Лагранж
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 2

   
   Интегральной суммой для функции   $f(x)$ на отрезке $[a,b]$  называется …

   • сумма вида $$\underbrace{\sum_{k=1}^{n}(\xi _{k})\triangle x_{k}}$$ где $\triangle x_{k}=[x_{k}-x_{o}]$
   • сумма вида $$\underbrace{\sum_{k=1}^{n}(\xi _{k})\triangle x_{k}}$$ где $\triangle x_{k}=[x_{k}-x_{k-1}]$
   • сумма площадей прямоугольников с основанием $[x_{k}-x_{k-1}]$ и высотой $f(\xi _{i})$
   • сумма площадей криволинейных трапеций с основанием $\triangle x_{k}=[x_{k}-x_{o}]$ и высотой $f(\xi _{i})$
   Правильно 2 / 2Баллы

   Неправильно / 2 Баллы
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   
   Дополните фразу:  геометрически интеграл представляет собой площадь криволинейной …
   Правильно
   

   Неправильно