Бесконечные пределы

Определение

Пусть задана функция нескольких переменных $A\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ и a —предельная точка множества $A$. Если для любого числа $M>0$ существует такое число $\delta$, что при $x\in A\cap U(a,\delta )$ выполняется неравенство $f(x)> M ( \left | f(x) \right | > M)$, то говорят, что функция $f(x)$ стремится к + $\infty$ при, $x\underset{A}{\rightarrow}a$ и пишут:
$\lim\limits_{x\to a}=+\infty$ $(\lim\limits_{x\to a}=-\infty$ или $\lim\limits_{x\to a} =\infty )$
Во всех трех случаях функцию $f(x)$ называют бесконечно большой при $x\underset{A}{\rightarrow}a$.

Пример

Функция $f(x, y) = \frac{1}{x^2+y^2}$ является бесконечно большой при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ Функция $g(x, y) = \frac{x}{x^2+y^2}$ стремится к $\infty$ при $(x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)$, если $A$ — сектор, заключенный между прямыми $y = x$ и $y = {-x}$ и расположенный в правой полуплоскости $x > 0$. В самом деле, в этом секторе $\left | y \right | < \left | x \right |$ и поэтому:
$\frac{x}{x^2+y^2}> \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}$
Функция $g(x, y)$ стремится к $- \infty$ при $(x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)$, если $A$ — сектор, заключенный между прямыми $y = x$ и $y = {-x}$ и расположенный в левой полуплоскости x < 0, поскольку в этом секторе $\left | y \right | < \left | x \right |$ и поэтому:
$\frac{x}{x^2+y^2}< \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}$
Если $A = {(x, y):x = 0, y \in R}$— ось ординат, то $g(x, y) = 0$ на $A$ и функция $g(x, y)$ является бесконечно малой при $(x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)$.

Литература:

• З.М. Лысенко Конспект лекций
• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по матанализу т.1(стр. 53-55).