Непрерывность сложной функции

Теорема 1

Пусть функции $\varphi _{1},…,\varphi _{n}$ определены в некоторой окрестности точки $x_{0}\in R^{m}$ и непрерывны в точке $x_{0}$, а функция $f(y)=f(y_{1},…,y_{n})$определена в окрестности точки $y_{0}=(\varphi _{1}(x_{0}),…,\varphi _{n}(x_{0}))$ и непрерывна в точке $y_{0}$. Тогда в некоторой окрестности точки $x_{0}$ определена сложная функция. $\Phi (x)=f \big( \varphi _{1}(x),…,\varphi _{n}(x) \big)$ причем функция $\Phi(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$.
Воспользуемся доказательством в случае одной переменной.

Теорема о непрерывности сложной функций

Пусть функция $\varphi (t)$ непрерывна в точке $t_{0}$ и функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}=\varphi(t_{0})$. Тогда функция $f(\varphi(t))$ непрерывна в точке $t_{0}$.

Доказательство:

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем:
$f(x)$ непрерывна в $x_{0}$ $\forall \varepsilon > 0 \;, \quad \exists \delta \; \quad \forall x \quad \left | x-x_{0} \right |< \delta$  $\left | f(x)-f(x_{0}) \right | <\varepsilon$ $\quad \psi (e)$ непрерывна в $t_{0}$ $\forall \delta >0 \; \quad \exists \eta \; \quad \forall t \quad$ $\left | t-t_{0} \right | < \eta \; \quad \left | \varphi (t)-\varphi(t_{0}) \right | < \delta$ Выписывая  кванторы, получим, что:

$$\forall \varepsilon >0 \; \quad \exists \eta \; \quad \forall t \quad \left | t-t_{0}\right | < \eta \quad \left | f\Big( \varphi (t) \Big)-f\Big((\varphi t_{0})\Big) \right | < \varepsilon$$ что и говорит о том, что $f\big(\varphi (t)\big)$ непрерывна в точке $t_{0}$.

Источники:

1. Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 237-238
2. Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.