Повторный предел

Повторные предельные значения. Для функции $u=f(x_{1},x_{2},…,x_{n})$ нескольких переменных можно определить понятие предельного значения по одной из переменных $x=x_{k}$  при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предельного значения. Уясним это понятие на примере функции $u=f(x,y)$ двух переменных x и у. Пусть функция  $u=f(x,y)$ задана в некоторой прямоугольной окрестности  $\left | x-x_{0} \right |<d_{1}$ ,  $\left | y-y_{0} \right | <d_{2}$ точки $M_{0}(x_{0},y_{0})$ , за исключением, быть может, самой точки $M_{0}$ . Пусть для каждого фиксированного y, удовлетворяющего условию $0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2}$ существует предельное значение функции $u=f(x,y)$ одной переменной $x$ в точке $x=x_{0}$

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y)=\varphi (y)$ 

и пусть, кроме того, существует предельное значение $b$ функции  $\varphi$(y) в точке $y=y_{0}$:

$\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}\varphi(y) =b$

В этом случае говорят, что существует повторное предельное значение $b$ для функции  $u=f(x,y)$ в точке  $M_{0}$, которое обозначается следующим образом:

$\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}$ $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y) =b$

Теорема:

Пусть функция $u=f(x,y)$ определена в некоторой прямоугольной окрестности  $\left | x-x_{0} \right |<d_{1}$ ,  $\left | y-y_{0} \right | <d_{2}$ точки $M_{0}(x_{0},y_{0})$ и имеет в этой точке предельное значение $b$. Пусть, кроме того, для любого фиксированного $x$, $0<\left | x-x_{0} \right | <d_{1}$, существует предельное значение $\psi =\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}f(x,y)$ и для любого фиксированного y, $0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2}$, существует предельное значение  $\phi (y)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}$. Тогда повторные предельные значения $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}$ $\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}$ и $\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}$ $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y)$ существуют и равны $b$.

 

Пример решения:

Вычислить повторный предел функций $f(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}$

Литература:

• В.А.Ильин, Э.Г. Позняк основы математического анализа — Москва, «Наука», 1967. (стр.459-462)
• Конспект лекций  З.М. Лысенко