Повторный предел

Повторные предельные значения. Для функции [latex] u=f(x_{1},x_{2},…,x_{n})[/latex] нескольких переменных можно определить понятие предельного значения по одной из переменных [latex] x=x_{k} [/latex]  при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предельного значения. Уясним это понятие на примере функции [latex] u=f(x,y)[/latex] двух переменных x и у. Пусть функция  [latex] u=f(x,y)[/latex] задана в некоторой прямоугольной окрестности  [latex] \left | x-x_{0} \right |<d_{1} [/latex] ,  [latex] \left | y-y_{0} \right | <d_{2} [/latex] точки [latex] M_{0}(x_{0},y_{0})[/latex] , за исключением, быть может, самой точки [latex] M_{0} [/latex] . Пусть для каждого фиксированного y, удовлетворяющего условию [latex] 0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2}[/latex] существует предельное значение функции [latex] u=f(x,y)[/latex] одной переменной [latex]x[/latex] в точке [latex] x=x_{0} [/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y)=\varphi (y) [/latex] 

и пусть, кроме того, существует предельное значение [latex]b[/latex] функции  [latex] \varphi [/latex](y) в точке [latex] y=y_{0} [/latex]:

[latex]\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}\varphi(y) =b[/latex]

В этом случае говорят, что существует повторное предельное значение [latex]b[/latex] для функции  [latex] u=f(x,y)[/latex] в точке  [latex] M_{0} [/latex], которое обозначается следующим образом:

[latex] \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}[/latex] [latex]\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y) =b[/latex]

Теорема:

Пусть функция [latex] u=f(x,y)[/latex] определена в некоторой прямоугольной окрестности  [latex] \left | x-x_{0} \right |<d_{1} [/latex] ,  [latex] \left | y-y_{0} \right | <d_{2} [/latex] точки [latex] M_{0}(x_{0},y_{0})[/latex] и имеет в этой точке предельное значение [latex]b[/latex]. Пусть, кроме того, для любого фиксированного [latex]x[/latex], [latex] 0<\left | x-x_{0} \right | <d_{1}[/latex], существует предельное значение [latex] \psi =\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}f(x,y)[/latex] и для любого фиксированного y, [latex] 0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2}[/latex], существует предельное значение  [latex]\phi (y)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} [/latex]. Тогда повторные предельные значения [latex] \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}[/latex] [latex]\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} [/latex] и [latex] \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}[/latex] [latex]\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y)[/latex] существуют и равны [latex]b[/latex].

 

Пример решения:

Вычислить повторный предел функций [latex]f(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}[/latex]

Спойлер

[latex] \lim\limits_{x\to 0}[/latex][latex]\lim\limits_{y\to 0}f(x,y)=[/latex][latex]\lim\limits_{x\to 0}( \lim\limits_{y\to 0}\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y})[/latex][latex]=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)=1[/latex]

[latex] \lim\limits_{y\to 0}[/latex][latex]\lim\limits_{x\to 0}f(x,y)=[/latex][latex]\lim\limits_{y\to 0}( \lim\limits_{x\to 0}\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y})=[/latex][latex]\lim\limits_{y\to 0}\frac{-y+y^2}{y}=[/latex][latex]\lim\limits_{y\to 0}(-1+y)=[/latex][latex]-1[/latex]

[свернуть]

Литература:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *