Локальные свойства непрерывных функций

Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

Теорема (формулировка)

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ — функция, непрерывная в точке $x_{0} \in R$ тогда справедливы следующие утверждения:

Функция $f$ ограничена в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$ .
Если $f(x_{0}) \neq 0$ , то в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$ точки $x_{0}$ функция $f(x)>0$
( или $f(x)<0$ ) вместе с $f(x_{0})$ .
Если функция g:UE(x0) →R также непрерывна в точке x0, то следующие функции непрерывны в точке x0:

Если функция $g: Y$ $\rightarrow R$ непрерывна в точке $y_{0} \in Y$ , а функция $f$ такова, что $f: E$ $\rightarrow R$ , $f(x_{0})=y_{0}$ , $f(E) \in Y$ и $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ , то композиция $g\circ f$ непрерывна в точке $x_{0}$ .

Пример 1

Алгебраический многочлен $P_{n}(x)=a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+…+a_{n}$ является непрерывной функцией для $x \in R$ . Это следует из теоремы 1 и непрерывности функции $y=x$ и $y=k$ .

Пример 2

Рациональная функция $\large R(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$ непрерывна всюду, кроме точек, в которых $Q_{m}(x)=0$ .

Источники:

А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2010. — 50-53 стр.
Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
Выражение $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :
- Непрерывности функций нескольких переменных
- Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
- Равномерной непрерывности.
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 4

2.

Количество баллов: 3

Сопоставить варианты ответов.

Элементы сортировки

точкой устранимого разрыва
точкой разрыва с конечным скачком
точка разрыва 2–го рода

Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 1
Точками разрыва функции нескольких переменных называется:
- Точки, в которых функция нескольких переменных $f: A\subset R^{n}\rightarrow R$ определена и является непрерывной
- Точки, в которых функция нескольких переменных $f: A\subset R^{n}\rightarrow R$ не определена и является непрерывной
- Точки, в которых функция нескольких переменных $f: A\subset R^{n}\rightarrow R$ определена, но не является непрерывной
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 1
Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$ ?
- Функция $f(x) = k$
- Функция $f(x) = \sin 2x$
- Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

К сожалению, работа еще не готова к проверке. Есть ошибки, которые нуждаются в исправлении.
1. Ссылки «интернет ресурс» или «одна синяя книжка» не приемлемы. В данном случае, Вы ссылаетесь на сканированные и выложенные в сети одним из авторов страницы 50-53 из учебного пособия А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2010. — 480 с. Так и нужно написать. Ссылка на ресурс сети это очень хорошо и полезно, но сам текст нужно поменять обязательно.
2. Ссылки на википедию или другие ресурсы для терминов возможны только если соответствующие темы из-за ошибок других студентов не описаны на нашем сайте. Вам нужно либо поставить ссылки на страницы нашего сайта, где дается определение непрерывности в точке и т.п. либо указать на ошибки в соответствующих местах.
3. Зачем Вы повторяете название дважды?
4. В середину предложения после слов «в точкеx х0 , то функции:…» Вы зачем-то вставили новый абзац. Смотрится странно и сбивает читателя. Поскольку далее идет перечисление, то это нужно оформить как вложенный список. Тогда все будет красиво и понятно.
5. Вы не проставили «метки» к этой записи (ключевые слова и выражения).
6. В тесте «точками разрыва этой функции называется:» непонятна какая именно эта функция и почему предложение с маленькой буквы. Либо Вы пропустили часть предложения, либо нужно что-то подкорректировать в формулировке. В вариантах ответа к этому заданию не отображаются формулы.
7. Возможно тест «не является непрерывной» требует уточнения, где именно непрерывной. В точке, на интервале, на множестве…
8. Рисунки в тестах должны быть в формате SVG, а не GIF
9. Или у меня дежавю или я это уже один раз Вам писал.
И, пожалуйста, будьте внимательны. Несправедливо заставлять меня проверять недоделанную работу несколько раз. Тем более, когда перечень замечаний соизмерим с размером самой работы.

Ответить