Корни многочлена. Выявление кратных корней многочлена

Задача

Является ли число 2 корнем многочлена $f(x)=x^5-5x^4+3x^3+22x^2-44x+24$, и если является — то какой кратности?

Решение

С помощью схемы Горнера определим делится ли $f(x)$ на $(x-2)$. Имеем:

	1	-5	3	22	-44	24
2	1	-3	-3	16	-12	0

Остаток при делении $f (x)$ на $(х-2)$ равен 0, а значит мы можем ответить на первый вопрос поставленной задачи: да, число 2 является корнем многочлена $f (x)$. Осталось выяснить, какой кратности этот корень. Продолжим деление многочлена по схеме Горнера:

	1	-5	3	22	-44	24
2	1	-3	-3	16	-12	0
2	1	-1	-5	6	0
2	1	1	-3	0
2	1	3	3

Видно, что $f (x)$ делится на $(х-2)^ 3$, т.е. $f (x) = (x-2)^ 3 (x^2+x-3)$, но не делится на $(х-2)^ 4$. А это значит, что 2 — корень третей кратности многочлена $f(x)$.

Задача

Найти все значения параметра $m$, при которых многочлен $f(x)=x^4-4m^3x+48$ имеет корень кратности 2.

Решение

$$\left\{ \begin{array}{l l} f(x)=x^4-4m^3+48=0, \\ \frac{df}{dx}=4x^3-4m^3=0, \\ \frac{d^2f}{dx^2}=12x^2\ne0. \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{} x^4-4m^3+48=0, \\ x=m,\\ x\ne0, \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{} x^4-4m^3+48=0, \\ m\ne0, \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{} m=2, \\ m=-2. \end{array} \right.$$
Ответ: $\pm$2.

Литература

• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.143-147.

Тест