Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса

Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных, он состоит в приведении данной системы, применяя элементарные преобразования, к ступенчатому виду.

Удобнее всего это делать путем приведения (с помощью элементарных преобразований строк) расширенной матрицы $B$ данной системы к ступенчатой
матрице $B_1$.

Конечная система будет равносильна исходной, так как между элементарными преобразованиями системы и элементарными преобразованиями строк ее расширенной матрицы имеет место быть взаимно однозначное соответствие, а при элементарных преобразованиях системы она переходит в равносильную.

Пример:

Пусть дана система уравнений

$\begin{equation*} \begin{cases} 2x_1 + x_2 + x_3 = 2\\ x_1 — x_2 = -2\\ 3x_1 — x_2 + 2x_3 = 2 \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем эту матрицу к ступенчатому виду, а затем далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Первым делом поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся $1$ (это делается для упрощения вычислений):

$A = \left(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix}\left| \begin{matrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{matrix}\right)\right.\ \sim~\ \left(\begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix}\left| \begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\right)\right.\ $

Затем получаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:
$A = \left(\begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix}\left| \begin{matrix} -2 \\ 6 \\ 8 \end{matrix}\right)\right.\ $

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $1/2$):

$A = \left(\begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}\left| \begin{matrix} -2 \\ 6 \\ 4 \end{matrix}\right)\right.\ $

Затем получаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений меняем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся $1$:

$A = \left(\begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}\left| \begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\right)\right.\ $

От третьей строки отнимем вторую, умноженную на $3$:

$A = \left(\begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{matrix}\left| \begin{matrix} -2 \\ 4 \\ -6 \end{matrix}\right)\right.\ $

После умножения третей строки на $(-1/2)$ , получаем:

$A = \left(\begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\left| \begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}\right)\right.\ $

Выполним теперь обратный ход метода Гаусса, то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Обнуляем элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:

$A = \left(\begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\left| \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\right)\right.\ $

Следующим действием обнулим недиагональные элементы второго столбца, прибавив к первой строке вторую:

$A = \left(\begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\left| \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\right)\right.\ $

Полученной матрице соответствует система

$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -1\\ x_2 = 1\\ x_3 = 2 \end{cases} \end{equation*}$

Литература:

• Конспект лекций Г.С. Белозерова
• Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
• Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 1 заданий окончено

Вопросы:

1. 1

Информация

Решите систему уравнений методом Гаусса

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 1

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 1

   1.

   Дана система уравнений :
   $$\begin{equation*} A = \begin{cases} 3x_1 + 2x_2 — 5x_3 = -1\\ 2x_1 — x_2 + 3x_3 = 13\\ x_1 + 2x_2 — x_3 = 9 \end{cases} \end{equation*}$$
   Найти $x_1, x_2, x_3$.

   • $x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = 5$
   • $x_1 = 2, x_2 = 5, x_3 = 6$
   • $x_1 = 3, x_2 = 5, x_3 = 4$
   • $x_1 = 3, x_2 = 6, x_3 = 7$
   Правильно
   

   Неправильно