Определение

Декартовым (или прямым) произведением множеств $A$ и $B$ называется такое результирующее множество пар вида $(x,y)$, построенных таким образом, что первый элемент из множества $A$, а второй элемент пары —  из множества $B$. Общепринятое обозначение:

$A\times B = \{(x,y)|x \in A, y \in B \}$

Произведения трёх и более множеств можно построить следующим образом:

$A\times B\times C = \{(x,y,z)|x \in A, y \in B, z \in C \}$

Произведения вида $A\times A, A\times A\times A, A\times A\times A\times A$ и т.д. принято записывать в виде степени: $A^2, A^3, A^4$ (основание степени — множество-множитель, показатель — количество произведений). Читают такую запись как «декартов квадрат» (куб и т.д.). Существуют и другие варианты чтения для основных множеств. К примеру, $\mathbb{R}^n$ принято читать как «эр энное».

Свойства

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

1. Если $A, B$ — конечные множества, то $A\times B$ — конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения — бесконечное множество.
2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): $|A\times B| = |A| \cdot |B|$.
3. $A^{np} \ne (A^n)^p$ — в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров $1\times np$, во втором же — как матрицу размеров $n\times p$.
4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: $A\times B \ne B\times A$.
5. Ассоциативный закон не выполняется: $(A\times B)\times C \ne A\times (B\times C)$.
6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: $(A * B)\times C = (A\times C) * (B\times C), * \in \{\cap, \cup, \backslash \}$

Примеры

1. Положим $A = \{1,2\}, B = \{3, 4\}$. Тогда результат декартова произведения можно записать так: $A\times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$, а $B\times A = \{(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)\}$
2. Если в предыдущем примере положить $B=A$, очевидно, что $A\times B = B\times A = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$
3. Возьмём $A = \{x \in \mathbb{R}|0\leq x \leq 5\}, B = \{x \in \mathbb{R}|5\leq x \leq 10\}$. Тогда $A\times B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2|0\leq x \leq 5 \wedge 5\leq x \leq 10\}$
4. Множества декартова произведения могут и не быть привычными числовыми множествами: $A = \{\circ, \diamond\}, B = \{2,8\}, A\times B = \{(\circ,2),(\circ,8),(\diamond,2),(\diamond,8)\}$
5. Спойлер

   
   Множество точек некой функции $f(x)$ можно отождествить как подмножество множества $\mathbb{R}^2$: $F = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | f(x) = y\}$

   [свернуть]
6. Спойлер

   
   Множество клеток игрового поля «Морского боя» можно представить в виде декартова произведения множеств $A = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}, B =\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$

   [свернуть]

Сферы использования

С помощью декартова произведения множеств определяется понятие бинарного отношения. Кроме этого, декартово произведение используется очень часто для обозначения множества числовых наборов, особенно в математическом анализе.

Часто говорят, например, что некая функция $f$ действует следующим образом: $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ (числовая функция $n$ переменных).

Список литературы

1. Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.
2. Ануфриенко С.А. — Введение в теорию множеств и комбинаторику. Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А.М. Горького, 1998 (стр. 11-13).

Декартово произведение множеств

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест предназначен для проверки знаний по теме «Декартово произведение множеств».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Какая из представленных записей является правильной записью определения декартова произведения множеств?

   • $A\times B = \{(x,y)|x \in A, y \in B \}$
   • $A\times B = \{(x,y)|x \cdot y \in A \cap B\}$
   • $A\times B = \{(y,x)|x \in A, y \in B \}$
   • Никакая из представленных.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Выберите два правильно построенных декартова произведения.

   • $A=\{0, 1\}, B=\{a, b\}, A\times B = \{(0,a), (0, b), (1, a),$ $(1, b)\}$
   • $A=\{2,3\}, B=\{\oplus , \ominus \}, C = \{\alpha, \beta \}, A \times B \times C =$ $\{(2, \oplus, \alpha), (2, \oplus, \beta), (2, \ominus, \alpha), (2, \ominus, \beta),(3, \oplus, \alpha),$ $(3, \oplus, \beta), (3, \ominus, \alpha), (3, \ominus, \beta) \}$
   • $A=\{f, g\} B = \{f\}, A\times B = \{(f, f), (f, g), (g, f), (g, g)\}$
   • $A=\{2,3\}, B=\{\oplus , \ominus \}, C = \{\alpha, \beta \}, A \times B \times C =$ $\{(2, \oplus, \alpha), (2, \oplus, \beta), (2, \ominus, \alpha), (3, \ominus, \beta),(3, \oplus, \alpha),$ $(3, \oplus, \beta), (3, \ominus, \alpha) \}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Выберите правильное утверждение.
   $A,B,C$ — произвольные непустые множества.

   • $A^{np} \ne (A^n)^p$
   • $A\times B = B \times A$
   • $(A\times B) \times C = A \times (B \times C)$
   • $|A\times B| = |A| + |B|$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Выберите те пары, которые принадлежат произведению $A\times B$, где $A=\{x \in \mathbb{N} | 1 \le x \le 10\}$, а $B=\{x \in \mathbb{R} | x^2 > 9\}$

   • $(3, 3.101), (9, 4), (1, -4)$
   • $(8, -7), (5, 14), (2, -12)$
   • $(4, -7), (5, -2.84), (7, -14)$
   • $(11, -7), (3, 9), (1, -17)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Запишите хотя бы одну пару, принадлежащую $A\times B$.
   Пример ввода: (2,3)
   $A = \{0, 3\}, B = \{-1, 1\}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Отсортируйте произведения по количеству элементов в результирующих множествах (от большего к меньшему).

   • $A\times B$, причём $A = \mathbb{N}$, а $B = \{-3, 3, 18\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{1, 9, 33\}$, а $B = \{-0.35, -0.45, -0.55\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{9, 81\}$, а $B = \{7, 49\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{1, 2\}$, а $B = \{ \oplus \}$
   Правильно
   

   Неправильно