Линейные оболочки и подпространства. Критерий подпространства

Если [latex]F[/latex] линейное подпространство [latex]K[/latex], значит [latex]F[/latex] — линейное пространство, соответственно оно замкнуто относительно умножения и сложения векторов на скаляры.

Докажем теперь в обратную сторону. [latex]\vec{a} \in F[/latex]. По второму свойству [latex]0\cdot \vec{a}=\vec 0[/latex] принадлежит [latex]F[/latex]. Так же по второму свойству любой вектор из [latex]F[/latex] содержит в [latex]F[/latex] противоположный себе вектор [latex]-1 \cdot \vec{a}=- \vec{a}[/latex]. Выходит [latex]- \vec{a} + \vec{a}= \vec 0 \in F[/latex]

[latex]\left \{ 0 \right \}[/latex] — подпространство любого пространства [latex]F[/latex]

[latex]f_{n}[x][/latex] — подпространство [latex]f_{m}[x][/latex], если [latex]n\le m[/latex]

Условие

Является ли линейным подпространством соответствующего векторного пространства следующая совокупность векторов:

все векторы [latex]n[/latex]-мерного векторного пространства, координаты которых целые числа?

Решение

[latex]X=\mathbb{R}_{n}[/latex]

[latex]L\subset X[/latex]

[latex]L=\left \{ (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) | x_{i}\in \mathbb{Z}, i=\overline{1, n}\right \}[/latex]

[latex]\forall \vec{x}, \vec{y} \in L[/latex], [latex]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}[/latex]:

[latex]\alpha \vec{x} + \beta \vec{y} \overset{?}{\in L}[/latex]

Возьмем [latex]\alpha=\frac{1}{2}[/latex] и [latex]\beta=1[/latex]

[latex]\vec{x}=(1, 1, …, 1)[/latex], [latex]\vec{y}=(-1, -1, …, -1)[/latex]

[latex]\alpha \vec{x} + \beta \vec{y}=[/latex] [latex](\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, …, \frac{1}{2})+[/latex] [latex](-1, -1, …, -1)=[/latex] [latex](-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, …, -\frac{1}{2})\notin L[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]L \not\le X[/latex]