Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства

Теоретическая справка

Определение:
Пусть [latex]A \subset E, A\ne 0[/latex]. Тогда ортогональным дополнением к множеству [latex]A[/latex] называется множество:
[latex]A^\perp = \{x\in {E} | \forall a\in A: (x,a) = 0\}.[/latex]
Britkariu_Praktika
Свойства ортогонального дополнения:

[latex]\{0\}^\perp = {E};[/latex]
[latex]{E}^\perp = \{0\};[/latex]
[latex]({L}^\perp)^\perp = {L}, \forall{L}\subseteq{E};[/latex]
[latex]({L}_1 + {L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp}\cap{L}_{2}^{\perp}, \forall{L}_{1},{L}_{2}\subseteq{E}[/latex];
[latex]({L}_1\cap{L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp} + {L}_{2}^{\perp}[/latex].

Пример

Найти базис ортогонального дополнения [latex]{L}^{\perp}[/latex] подпространства [latex]{L}[/latex], натянутого на векторы [latex]a_{1}, a_{2}, a_{3}[/latex].
[latex]a_1 = (1,0,2,1)[/latex]
[latex]a_2 = (2,1,2,3)[/latex]
[latex]a_3 = (0,1,-2,1)[/latex]
Найдем ранг матрицы [latex]L[/latex]:
[latex]L =

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}$ [/latex]
Домножим первую строчку матрицы на [latex]-2[/latex] и прибавим ко второй. Получим:
[latex]L =

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}$ [/latex]
Вторая и третья строки матрицы совпадают, а значит одну можно исключить. Получим, что ранг системы [latex]L[/latex] равен [latex]2[/latex]. Следовательно, системы [latex]L[/latex]- линейно зависимая.
[latex]L[/latex] (система состоит из двух векторов).
[latex]{L}^{\perp} = \{b_1,b_2\}[/latex]
[latex](a_1,x) = 0, (a_2,x) = 0[/latex]
Составим матрицу из векторов [latex]a_1, a_2[/latex].
[latex]

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\\end{pmatrix}$ \sim

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}$ [/latex]
(домножим первую строчку матрицы на -2 и прибавим ко второй)
[latex]\left\{

$\begin{matrix} x_1 + 2x_3 + x_4& = &0 \\ x_2 — 2x_3 + x_4& = &0 \end{matrix}$ \right.[/latex]
Найдем общее решение системы:
[latex]\left\{

$\begin{matrix} x_1& = &-2x_3 — x_4 \\ x_3& = &\frac{x_2 + x_4}{2} \end{matrix}$ \right.[/latex]
[latex]x =

$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\\end{pmatrix}$ =

$\begin{pmatrix} — 2x_3 — x_4 \\ x_2 \\ \frac{x_2 + x_4}{2}\\ x_4 \\\end{pmatrix}$ [/latex]
Найдем ФСР (фундаментальную систему решений) по формуле:
ФСР [latex] = n — r [/latex], где [latex]n[/latex]- число неизвестных переменных, [latex]r[/latex]- ранг матрицы.
ФСР: [latex]4 — 2 = 2.[/latex]
Получили два линейно независимых решения системы. Придадим переменным [latex]x_3, x_4 [/latex] произвольные значения:

ФСР	[latex]x_1[/latex]	[latex]x_2[/latex]	[latex]x_3[/latex]	[latex]x_4[/latex]
[latex]b_1[/latex]	[latex]2[/latex]	[latex]-2[/latex]	[latex]-1[/latex]	[latex]0[/latex]
[latex]b_2[/latex]	[latex]1[/latex]	[latex]1[/latex]	[latex]0[/latex]	[latex]-1[/latex]

Получили ортогональное дополнение [latex]{L}^{\perp} = <b_1, b_2> = <(2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)>[/latex].