Пусть An={a1,a2,…,an} — конечное множество из n элементов, с заданной на нем бинарной алгебраической операцией ∗ так, что каждой паре элементов из этого множества будет поставлен в соответствие элемент из того же множества.
Тогда таблица Кэли (была введена А.Кэли в 1854) будет выглядеть следующим образом:
∗a1a2…ana1a1∗a1a1∗a2…a1∗ana2a2∗a1a2∗a2…a2∗an⋮⋮⋮⋱⋮anan∗a1an∗a2…an∗an
Таблица Кэли позволяет определить свойства операции:
- Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то ∗ — коммутативна.
- Если i-ая строка повторяет верхнюю строку и i-ый столбец повторяет левый столбец, то ai — нейтральный элемент.
- Если каждая строка и каждый столбец таблицы содержит нейтральный элемент, то для каждого элемента из An существует симметричный.
Замечание. Также существует метод проверки ассоциативности БАО по таблице Кэли, но так как он очень громоздкий приводить мы его не будем.
Пример 1
Дано множество A={1,2,3,4,5,6,7,8}. На этом множестве задана операция ∗ такая, что ∀a,b∈A,a∗b=max(a,b). Построить таблицу Кэли и определить свойства операции:
Построим таблицу Кэли:
∗12345678112345678222345678333345678444445678555555678666666678777777778888888888
- Таблица симметрична относительно главной диагонали, значит операция ∗ — коммутативна.
- Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит 1 — нейтральный элемент.
- Симметричный элемент существует только для 1.
- Можем сделать вывод, что (A,∗) не является группой.
Пример 2
Дано множество преобразований правильного треугольника B={φ0,φ1,φ2,φ3,φ4,φ5}, переводящих треугольник в самого себя.
φ0,φ1,φ2 — повороты треугольника против часовой стрелки соответственно на углы 0,2π3,4π3 вокруг точки O.
φ3,φ4,φ5 — симметрия относительно осей m,l,p
Построить таблицу Кэли и показать, что (B,∘) — группа:
Каждое преобразование представим в виде подстановки:
φ0=(ABCABC) φ1=(ABCBCA) φ2=(ABCCAB) φ3=(ABCBAC) φ4=(ABCCBA) φ5=(ABCACB)
Составим таблицу Кэли:
∘φ0φ1φ2φ3φ4φ5φ0φ0φ1φ2φ3φ4φ5φ1φ1φ2φ0φ4φ5φ3φ2φ2φ0φ1φ5φ3φ4φ3φ3φ5φ4φ0φ2φ1φ4φ4φ3φ5φ1φ0φ2φ5φ5φ4φ3φ2φ1φ0
- Таблица несимметрична относительно главной диагонали, значит операция композиции подстановок — некоммутативна.
- Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит φ0- нейтральный элемент.
- Каждая строка и каждый столбец таблицы содержит нейтральный элемент, значит для каждого элемента из множества существует симметричный.
- Композиция подстановок — ассоциативна.
- Следовательно, (B,∘) является группой.
Литература:
- Белозёров Г.С. Конспект лекций.
- Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., Наука, 1977 г, с.166, 167
- Курош А.Г. Теория групп. М., Наука, Физматлит, 1967 г, с.113
Навигация (только номера заданий)
0 из 4 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
Информация
Тест
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 4
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
| Средний результат |
|
| Ваш результат |
|
Рубрики
- Алгебра 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 4
1.
Дано множество A={0,1,2}. Сопоставить операцию с таблицей Кэли:
Элементы сортировки
- ∗012000010112012
- ∗012001211122222
- ∗012001211012210
-
a∗b=min(a,b)
-
a∗b=max(a,b)
-
a∗b=|a−b|
Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 4
2.
Если таблица Кэли симметрична относительно главной диагонали, то:
Правильно
Неправильно
-
Задание 3 из 4
3.
Дано множество A={0,1,2,3}. На этом множестве задана операция ∗ такая, что ∀a,b∈A,a∗b=|a−b|.
Построить таблицу Кэли и по ней определить свойства операции:Правильно
Неправильно
-
Задание 4 из 4
4.
В каком году была введена таблица Кэли?
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Таблица Кэли
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
| Нет данных | ||||
