Вычисление объема тела вращения

Пусть $M$ — некоторая плоская фигура. Тело вращения мы можем получить 2 способами:

• вращением $M$ вокруг оси абсцисс($OX$);
• вращением $M$ вокруг оси ординат ($OY$).

Примеры

Пример 1

Пусть $M$ — тело вращения полученная вращением фигуры $T$, образованной линиями $y=x^2-4x+2$ и $y=0$, вокруг оси $OX$.
Первым делом начертим график:

Искомая фигура $T$ на графике заштрихована.
Отрезок на котором задана фигура равен $(2-\sqrt{2};2-\sqrt{2})$
Объем тела вращения равен:,
$V=\pi\int\limits_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} {(x^2-4x+2)}^2 dx=$ $\pi\int\limits_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} (x^4-8x^3+20x^2-16x+4) dx=$ $\pi (\frac{x^5}{5}-2x^4+\frac{20x^3}{3}-8x^2+4x){|}_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}}=$ $\frac{64\sqrt{2}\pi}{15}$

Пример 2

Пусть $M$ — тело вращения полученная вращением фигуры $T$, образованной линиями $y=x^2-4x+2$ и $y=0$, вокруг оси $OX$.
Hачертим график: