Теоретический материал
Задача
Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.
x1=(1,2,3)
x2=(3,6,7)
Решение:
Построим линейную комбинацию из векторов системы.
α1x1+α2x2=0
α1(1,2,3)+α2(3,6,7)=0
(α1,2α1,3α1)+(3α2,6α2,7α2)=0
(α1+3α2,2α1+6α2,3α1+7α2)=0
Далее, необходимо решить однородную систему линейных уравнений.
{α1+3α2=02α1+6α2=03α1+7α2=0
Как видим, первое и второе уравнения линейно зависимы, т.е. ранг системы равен 2. Так как ранг системы совпадает с числом неизвестных, то система имеет только нулевое решение.
α1=α2=0
Система линейно независима по критерию ЛНЗ.
Задача
Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.
x1=(5,4,3)
x2=(3,3,2)
x3=(8,1,3)
Решение:
Построим линейную комбинацию из векторов системы.
α1x1+α2x2+α3x3=0
α1(5,4,3)+α2(3,3,2)+α3(8,1,3)=0
(5α1,4α2,3α3)+(3α1,3α2,2α3)+(8α1,α2,3α3)=0
Составим систему линейных уравнений.
{5α1+4α2+,3α3=03α1+3α2+2α3=08α1+α2+3α3=0
Решим систему уравнений методом Гаусса.
(543332813)∼(−1−2−10−3−10−15−5)∼ (−1−2−10−3−1)
{−α1−2α2−α3=0−3α2−α3=0
Общее решение системы будет иметь следующий вид:
α3=−3α2
α1=α2
Т.е. система линейно зависима по первому критерию ЛЗ.
