Свойство 1

Если ряды

сходятся, и их суммы равны соответственно $S$, $\sigma$, то $\forall \alpha ,\beta \epsilon \mathbb{R}$ ряд

сходится, при этом его сумма $\tau=\alpha S+\beta\sigma$.

Доказательство.

Пусть $S_n, \sigma_n, \tau _n$ n-е частичные суммы соответственно рядов (1), (2), (3). Тогда $\tau _n=\alpha S_n +\beta \sigma_n$. Поскольку $\left \{ S_n \right \}$ и $\left \{ \sigma _n \right \}$ сходятся, то последовательность $\left \{ \tau _n \right \}$ имеет конечный предел по свойству сходящихся последовательностей, то есть ряд (3) сходится и справедливо $\tau=\alpha S+\beta\sigma$.

Замечание:

Если ряды (1) и (2) расходятся, то о сходимости ряда (3) ничего утверждать нельзя. Ряд может быть сходящимся, а может быть расходящимся.

Например:

1. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n$ — расходятся, и
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(n+n)$ расходится.
2. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-n)$ — расходятся, но
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(n-n)=0$ сходится.

Свойство 2

Если сходится ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ (1), то $\forall t\epsilon \mathbb{N}$ сходится ряд $\sum_{n=t+1}^{\infty}a_n$. (2)

Данный ряд называют t-м остатком ряда (1). Верно и обратное: если при фиксированном t ряд (2) сходится, тогда и ряд (1) сходится.

Доказательство.

Пусть $\sum_{i=1}^{n}a_i=S_n$ — n-я частичная сумма ряда (1) и $\sum_{j=1}^{t+k}a_j=\sigma_k^{(t)}$ — k-я частичная сумма ряда (2). Тогда
$S_n=S_t+\sigma _k^{(t)}$, где $n=t+k$. (*)

Если ряд (1) сходится, то $\exists \lim_{n \to \infty}S_n$, причем конечный, таким образом из равенства (*) следует, что при фиксированном t существует конечный предел последовательности $\left \{ \sigma _k^{(t)} \right \}$ при $k\rightarrow \infty$, то есть ряд (2) сходится.

Обратное утверждение: если $\exists \lim_{k \to \infty}\sigma_k^{(t)}$ и он конечен при фиксированном t, то существует конечный $\lim_{n \to \infty}S_n$.

Замечание:

Свойство утверждает, что сходимость ряда не изменится, если отбросить конечное число членов ряда.

Свойство 3

Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ (1) сходится, то ряд $\sum_{j=1}^{\infty}b_j$ (2), полученный путем группировки членов ряда (1) без изменения порядка их расположения, также сходится и его сумма равна сумме ряда (1).

Доказательство.

….

где $j\epsilon \mathbb{N}$, $\left \{ k_j \right \}$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Пусть $\sum_{k=1}^{n}a_k=S_n$, $\sum_{j=1}^{m}b_j=\sigma _m$, тогда $\sigma _m=S_{k_{m}}$. Так как $\left \{ \sigma _m \right \}$-подпоследовательность сходящейся последовательности $\left \{ S_n \right \}$, то $\exists \lim_{m \to \infty}\sigma _m=S$, где $S$-сумма ряда (1).

Литература

• Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов. — 3-е изд., исправленное —М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001, стр. 385-386.
• Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления том 2, стр. 260-262.
• Л.Д. Кудрявцев Курс математического анализа том 2, стр. 9-11.
• Конспект лекций Лысенко З.М.

Свойства сходящихся рядов

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на проверку знаний свойств сходящихся рядов.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Выбрать расходящийся ряд.

   • $$\sum_{n=1}^{\infty}(3^{n}+\frac{1}{n^{-3}})$$
   • $$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{22^n})$$
   • $$\sum_{n=1}^{\infty}(35e^{-n}+\frac{1}{5^n})$$
   • $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1000+2000}{n^{25}}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Заполните пропуски.

   • Свойство об остатке ряда утверждает, что сходимость ряда (не изменится, останется прежней, не поменяется, будет неизменной, не меняется, не изменяется, остается прежней, неизменна, постоянна, не меняет характер, прежняя), если отбросить (конечное, определенное, фиксированное, некоторое, заданное, конкретное) число членов ряда.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Среди следующих утверждений выбрать верные.

   • Если t-й остаток числового ряда сходится, то данный ряд также сходится.
   • Если t-й остаток числового ряда сходится, то о сходимости ряда ничего утверждать нельзя.
   • Если t-й остаток числового ряда сходится, то данный ряд расходится.
   • Если некий ряд сходится, то ряд, полученный путем группировки членов исходного ряда без изменения порядка их расположения, также сходится и его сумма равна сумме исходного ряда.
   • Если некий ряд сходится, то ряд, полученный путем группировки членов исходного ряда без изменения порядка их расположения, также сходится и его сумма равна удвоенной сумме исходного ряда.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Установите соответствие между началом фразы и ее концом.

   Элементы сортировки

   • ...сходится.
   • ...может как сходиться, так и расходиться.
   • ...расходится.

   • Числовой ряд, общий член которого является линейной комбинацией общих членов сходящихся рядов, ...

   • Числовой ряд, общий член которого является линейной комбинацией общих членов расходящихся рядов, ...

   • Числовой ряд, t-й остаток которого расходится, ...

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Написать сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{3}{2^n}+\frac{4}{3^n})$.
   Правильно
   

   Неправильно