Пусть функция $f(x)$ определена и непрерывна на промежутке $[a,b)$ и интегрируема в каждой части этого отрезка, не содержащей точки $b$, которая может быть и $+\infty$.

Рассмотрим теперь функцию $x=\phi(t)$, которая является монотонно возрастающей и непрерывной вместе со своей производной $\phi'(t)$ на промежутке $[\alpha,\beta)$. Допустим, что $\phi(\alpha)=a$ и $\phi(\beta)=b$. Равенство $\phi(\beta)=b$ следует понимать как $\lim_{t \to \beta}\phi(t)=b$. Если соблюдены все вышеперечисленные условия, то имеет место равенство:

при условии, что один из этих интегралов сходится. Из существования одного из двух интегралов в равенстве вытекает существование второго. Второй интеграл будет либо собственным,либо несобственным с единственной особой точкой $\beta$.

Доказательство

Пусть теперь $x_0$ и $t_0$ будут произвольными, но соответствующими значениям $x$ и $t$ и их промежуткам $(a,b)$ и $(\alpha, \beta)$. Тогда будем иметь:

Если существует второй из интегралов, будем приближать произвольным образом $x_0$ к $b$, при этом $t_0=\theta(x_0)$ устремится к $\beta$, существование второго интеграла доказано. Данное рассуждение одинаково применимо и к монотонно убывающей функции.

Литература

• Конспект лекций по мат. анализу Лысенко З. М.
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления» ФИЗМАТЛИТ, 1964 т.2, ст. 604-605
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. ст. 366-368

Тест : Замена переменных

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на знание метода замены переменных в случае несобственных интегралов

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Выбрать необходимые условия применения метода замены переменных.

   • Функция $f(x)$ определена и непрерывна на отрезке $[a,b]$
   • Функция $f(x)$ определена и непрерывна на отрезке $[a,b)$
   • Функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a,b)$
   • Функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $(a,b]$
   • Функция $x=\phi(t)$ является монотонно возрастающей и непрерывной на промежутке $[\alpha,\beta]$
   • Функция $x=\phi(t)$ является монотонно возрастающей и непрерывной вместе со своей производной на промежутке $[\alpha,\beta)$
   • Функция $x=\phi(t)$ является монотонно возрастающей и непрерывной на промежутке $[\alpha,\beta)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Как следует понимать функцию $\phi(\beta)=b$?

   • $\lim_{t \to \alpha}\phi(t)=b$
   • $\lim_{t \to \alpha}\phi(\alpha)=b$
   • $\lim_{t \to \beta}\phi(t)=b$
   • $\lim_{t \to \beta}\phi(t)=a$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Вставить пропущенные слова в утверждение.
   Рассмотрим теперь функцию $x=\phi(t)$, которая является _____________ ______________ и _____________ вместе со своей производной $\phi'(t)$ на промежутке $[\alpha,\beta)$. Допустим, что $\phi(\alpha)=a$ и $\phi(\beta)=b$.

   • 1) (монотонно возрастающей, монотонно убывающей, монотонной, монотонно возрастающая, монотонно убывающая, монотонная) 2) (непрерывной, непрерывная)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Назвать достаточное условие равенства $\int_{a}^{b}f(x)=\int_{a}^{b}f(\phi(t))\phi'(t)dt$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Отсортировать значения и промежутки данных функций

   Элементы сортировки

   • $a$
   • $b$
   • $[a,b)$
   • $[\alpha,\beta)$

   • $\phi(\alpha)$

   • $\phi(\beta)$

   • $f(x)$

   • $\phi(t)$

   Правильно
   

   Неправильно