Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Дифференциальное исчисление функций многих переменных — важный раздел анализа, имеющий немало приложений в физике, инженерии и прикладной математике. Существенное количество практических задач формулируется в терминах функций от двух переменных — явном выражении поверхностей в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ . В классических курсах анализа их изучают с более общих позиций, рассматривая достаточные критерии экстремума функций вида $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ (также называемых скалярными полями), в терминах которых ведётся дальнейшее изложение.

Определение

Говорят, что функция

$f: \mathbb{E} \subset \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}$ имеет во внутренней точке

$x_{0}$

локальный минимум, если $\exists U(x_{0}) \subset \mathbb{E}: \forall f(x) \le f(x_{0})$ .
локальный максимум, если $\exists U(x_{0}) \subset \mathbb{E}: \forall f(x) \ge f(x_{0})$ .

Заменой неравенств на строгие получаем условия соответственно строгого локального минимума и максимума.

Определение

Якобианом векторного поля $f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \forall x \in \mathbb{R}^{m} f(x) = (f_{1}(x),…,f_{m}(x))$ , дифференцируемого в точке $x$ и непрерывного в некоторой её окрестности $U(x) \in \mathbb{R}^{m}$ называют линейный оператор $\mathbf{J}$ , описывающий наилучшее линейное приближение функции в некоторой окрестности точки $x$ и имеющий матрицу вида:

${ J }_{ f }(x)=\begin{Vmatrix} \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ m } } (x) \\ \frac { \partial f_{ 2 } }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{ 2 } }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{2} }{ \partial x_{ m } } (x) \\ … & … & … & … \\ \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ m }} (x) \end{Vmatrix}$

— так называемую матрицу Якоби (матрица касательного отображения). Для скалярного поля матрица Якоби имеет вид:

${ J }_{ f }(x)=\begin{Vmatrix} \frac { \partial f }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f }{ \partial x_{ m } } (x) \end{Vmatrix}$

Определение

Гессианом скалярного поля $f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}$ , дважды дифференцируемого по всем аргументам в точке $x=(x^{1},…,x^{m}) \in \mathbb{R}^{m}$ , называют симметрическую квадратичную форму $H(x)=\sum _{ i=1 }^{ m }{ \sum _{ j=1 }^{ m }{ h_{ij}x_{i}x_{j} } }$ , описывающую наилучшее квадратичное приближение функции в некоторой окрестности точки $x$ и имеющую матрицу вида:

$\mathbf{H}_{f}(x) = \begin{Vmatrix} \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }^{ 2 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }\partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }\partial x_{ m } } (x) \\ \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }\partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }^{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }\partial x_{ m } } (x) \\ … & … & … & … \\ \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }\partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }\partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }^{ 2 } } (x) \end{Vmatrix}$

— так называемую матрицу Гессе, определитель которой обычно подразумевается под Гессианом. Матрица Гессе также описывает локальную кривизну скалярного поля.

Утверждение

Поведение функция $f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ , дважды дифференцируемой в точке $x=(x^{1},…,x^{m}) \in \mathbb{R}^{m}$ и непрерывной в некоторой окрестности $U(x) \subset \mathbb{R}$ этой точки, характеризуется формулой:

$f(\mathbf{x}+\mathbf{\Delta x}) \approx f(x) + \mathbf{J(x)\Delta x} + \frac{1}{2} \mathbf{\Delta x^{T} H(x) \Delta x}$

Достаточное условие экстремума в терминах частных производных

Для того, чтобы функция $f: U(x_{0}) \rightarrow \mathbb{R}$ , дважды дифференцируемая по всем аргументам в точке $x_{0}=(x_{0}^{1},…,x_{0}^{m}) \in \mathbb{R}^{m}$ , в ней имела экстремум достаточно, чтобы её Гессиан был знакоопределён, причем, положительная определённость влечёт наличие в точке строгого локального минимума, отрицательная определённость — строгого локального максимума.

Спойлер

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора, обозначив вектор сдвига как $\mathbf{h}=(h_{1},…,h_{m})$ . Тогда

$f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{x}) + \frac{1}{2!} \mathbf{h^{T} H(x) h} + \underline{o}((\left\| \mathbf{h} \right\|)^{2}),\left\| h \right\| =\sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ h_{ i }^{ 2 } } } \\ f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{x}) + \sum _{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{m}{\frac {\partial f^{2}} {\partial x_{i} \partial x_{j}}h_{i}h_{j}}} + \underline{o}((\left\| \mathbf{h} \right\|)^{2}) \\ f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) — f(\mathbf{x}) = \frac {1}{2!} \left\| \mathbf{h} \right\|^{2}\left[\sum _{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{m}{\frac {\partial f^{2}} {\partial x_{i} \partial x_{j}} \frac{h_{i} } { \left\| \mathbf{h} \right\| } \frac{ h_{j}} {\left\| \mathbf{h} \right\|}}} + \underline{o}(1) \right]$

Отсюда следует, что знак выражения в левой части, позволяющий судить о наличии или отсутствии экстремума в точке $\mathbf{x}$ , определяется знаком выражения в квадратных скобках. Посмотрим на неё внимательнее: пусть $\mathbf{h} != 0$ , тогда вектор ${ e }=\left( \frac { h_{ 1 } }{ \left\| { h } \right\| } ,\frac { h_{ 2 } }{ \left\| { h } \right\| } ,…,\frac { h_{ m } }{ \left\| { h } \right\|} \right)$ имеет единичную норму $\left\| { e } \right\| = 1$ , каким бы он ни был. Форма $\sum _{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{m}{\frac {\partial f^{2}} {\partial x_{i} \partial x_{j}} \frac{h_{i} } { \left\| \mathbf{h} \right\| } \frac{ h_{j}} {\left\| \mathbf{h} \right\|}}}$ непрерывна на $\mathbb{R}^{m}$ как однородный многочлен второй степени от координат $\mathbf{h}$ в силу непрерывности вторых производных $f$ в окрестности $\mathbf{x}$ . Квадратичная форма непрерывна и на единичной сфере $S(0;1)=\left\{ x \in \mathbb{R}^{m}| \left\| { x } \right\| \le 1 \right\}$ . Приниципиальный интерес этот факт представляет по той причине, что единичная сфера — компакт, а свойства скалярных функций, непрерывных на компакте, хорошо известны и сыграют важную роль. В частности, непрерывная на компакте функция достигает на нём своих точных верхней и нижней граней $m$ и $M$ .
Если форма положительно определена, то $0 0$ , что $\forall y: \left\| y \right\| < \delta \quad \underline { o } (1)=\alpha (y) < m \Rightarrow \underline { o } (1) < m 0$ .
Доказательство для случая отрицательно определённой квадратичной формы симметрично приведенному.
Докажем далее, что значения разных знаков, принимаемые формой в окрестности данной точки, являются достаточным условием отсутствия в ней экстремума функции. Сохраняя обозначения предыдущего пункта, назовём $\mathbf{e_{m}}$ и $\mathbf{e_{M}}$ точки единичной сфера, в которых форма достигает значений $m$ и $M$ соответственно, причем пусть $m < 0 < M$ .
Вновь выпишем разложение в ряд Тейлора функции $f$ , взяв за вектор сдвига вектор $t\mathbf{e_{m}}$ , где число $t$ подобрано таким образом, чтобы $\mathbf{x}+t\mathbf{e_{m}} \in U(x)$ :

$f({ x }+{ h })-f({ x })=\frac { 1 }{ 2! } \left\| { te_{ m } } \right\| ^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right] =\frac { 1 }{ 2! } (\left| t \right| \left\| { e_{ m } } \right\| )^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right] =\frac { 1 }{ 2! } t^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right]$

Аналогично рассуждениям предыдущего пункта, рассмотрим случай $\text{sign}(\underline {o}(1))=1$ : $\lim _{ \left\| t \right\| \rightarrow 0}{ \alpha (t\mathbf{e_{m}}) } = 0 \Rightarrow \exists \delta > 0: \forall t m$ . Тогда значение в квадратных скобках, как и выражение в левой части, неположительно. В ходе аналогичных рассуждений получим двойственную ситуацию для $\mathbf{e_{M}}$ . Следовательно, в любой окрестности $U(\mathbf{x})$ точки $\mathbf{x}$ функция $f$ принимает значения, как большие, так и меньше $f(\mathbf{x})$ , следовательно, в точке $\mathbf{x}$ экстремума быть не может по определению.

[свернуть]

Замечание 1

Условие не является необходимым, так как ничего не говорит о случае, когда квадратичная форма полуопределена, т.е. является и неположительна или неотрицательна, т.е. содержит критические точки, не являющиеся экстремальными, строго больше или меньше нуля на всех векторах окрестности.

Спойлер

Исследуем на экстремум функцию $f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2x^{2}$ . Отыщем критические точки согласно необходимому условию:

$\begin{cases} \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=4x^{ 3 }-4x=0, \\ \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=4y^{ 3 }=0; \end{cases}$

Решаяя систему, получаем точки: $(-1,0),(0,0),(1,0)$ . Поскольку смешанные производные существуют и непрерывны и

$\frac { \partial f^{ 2 } }{ \partial x^{ 2 } } (x,y)=12x^{ 2 }-4, \frac { \partial f^{ 2 } }{ \partial y\partial x } (x,y)=0, \frac { \partial f^{ 2 } }{ \partial y^{ 2 } } (x,y)=12y^{ 2 }$

матрица Гессе имеет вид

${ H }_{ f }(x,y)=\begin{Vmatrix} 12x^{ 2 }-4 & 0 \\ 0 & 12y^{ 2 } \end{Vmatrix}$

Используя критерий Сильвестра, убедитесь, что в указанных трёх точках квадратичная форма полуопределена. Несмотря на то, что достаточный критерий экстремума в терминах квадратичного приближения неприменим, из записи функции в виде $f(x,y)=(x^{2}-1)^{2}+y^{4}-1$ очевидно, что в точках $(\pm 1, 0)$ функция (симметричная и монотонно возрастающая по обеим переменным) имеет строгий локальный минимум, а в точке $(0, 0)$ не имеет экстремума вовсе.
Нижеприведенное изображение наглядно демонстрирует правильность выводов. Нормалями к поверхности обозначены стационарные точки.

[свернуть]

Замечание 2

Функция может принимать экстремальные значения в граничных точках области определения. Вышеприведенное достаточное условие для их выявления использовать не рекомендуется, следует обратиться к аппарату теории условного экстремума.

Пример (Демидович, №3629)

Исследовать на локальный экстремум функцию

$z = x y \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} \quad (a > 0, \quad b > 0)$

Спойлер

Вычислим первые частные производные. Решением нижеприведенной системы

$z^{ ‘ }_{ x }=\frac { y\left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) }{ \sqrt { 1-\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } } }, \quad z^{ ‘ }_{ y }=\frac { y\left( 1-\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 2y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) }{ \sqrt { 1-\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } } }$

находим стационарные точки

$(0,0),\quad \left( \frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) ,\quad \left( -\frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) ,\quad \left( \frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,-\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) ,\quad \left( -\frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,-\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right)$

Отметим, что в точках, лежащих на границе эллипса $1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ частные производные не существуют, следовательно, их следует отдельно проверить на экстремум, что выходит за рамки аппарата данной статьи.

Для проверки достаточных условий выпишем вторые производные

$z^{ » }_{ x^{ 2 } }=\frac { -\frac { xy }{ a^{ 2 } } \left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right)}{ \left(1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right)^{\frac{3}{2}} }, \quad z^{ » }_{ y^{ 2 } }=\frac { -\frac { xy }{ b^{ 2 } } \left( 1-\frac { 3x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 2y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) }{ \left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) ^{ \frac { 3 }{ 2 } } }, \\ z^{ » }_{ xy }=\frac { 1+\frac { 2x^{ 4 } }{ a^{ 4 } } +\frac { 3x^{ 2 }y^{ 2 } }{ a^{ 2 }b^{ 2 } } +\frac { 2y^{ 4 } }{ b^{ 4 } } -\frac { 3x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } }{ \left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) ^{ \frac { 3 }{ 2 } } }$

Точка $(0,0)$ не является точкой условного экстремума
$\mathbf{ H }_{ z }(0,0)=\begin{Vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{Vmatrix},\quad \Delta_{1}=0,\quad \Delta_{2}=-1$
Заметим, что функция $z(x,y)$ чётна, а также $z \left( \frac { -a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) = z \left( \frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { -b }{ \sqrt { 3 } } \right)$ .

Точки $(\pm \frac { a }{ \sqrt { 3 } }, \pm \frac { b }{ \sqrt { 3 } })$ являются точками условного экстремума

${ H }_{ z }(\frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } )=\begin{Vmatrix} -\frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } & -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \\ -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } & -\frac { 4a }{ \sqrt{3}b} \end{Vmatrix},\quad \Delta _{ 1 }=-\frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } 0$ ${ H }_{ z }(\frac { -a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } )=\left( \begin{array}{cc} \frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } & -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \\ -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } & \frac { 4a }{ \sqrt { 3 } b } \end{array} \right) ,\Delta _{ 1 }=\frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } >0, \quad \Delta _{ 1 }=\frac { 16 }{ 3 } — \frac{4}{3} = 4 > 0$

Соответственно, $\left(\pm \frac {a}{ \sqrt { 3 } } , \pm \frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right)$ — точки минимума, $\left(\pm \frac {a}{ \sqrt { 3 } } , \mp \frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right)$ — точки максимума.

Пример: $a = b = 2$

[свернуть]

Источники:

Зорич В.А., Математический анализ, ФАЗИС, 1997, стр. 454-461
Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство Московского Университета, Издательство ЧеРо, 1997
Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., семестр 2

Закрепление материала.

Таблица лучших: Достаточные условия экстремума функции многих переменных

максимум из 23 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Определение

Определение

Определение

Утверждение

Достаточное условие экстремума в терминах частных производных

Замечание 1

Замечание 2

Пример (Демидович, №3629)

Источники:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

Подсказка

Таблица лучших: Достаточные условия экстремума функции многих переменных

Достаточные условия экстремума функции двух переменных: 1 комментарий

Средний результат
Ваш результат