Processing math: 100%

Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора

Если функция f имеет производные всех порядков на промежутке (x0R,x0+R) и все эти производные ограничены в совокупности, т.е. существует такое число L>0, что для всех x(x0R,x0+R) и всех n=0,1,2, выполняется:

|f(n)(x)|L,

(где L не зависит от n), то функция f представляется рядом Тейлора:

f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f»(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+, |xx0|R

Доказательство:

Каким бы не было число a,

limnann!=0

Пусть n0 такое , что |a|n0<12. Тогда при всех nn0 |a|n<12, и поэтому

ann!=an0n0!an0+1an0+2an<an0n0!(12)nn0,

где правая часть неравенства стремится к нулю при n, откуда и следует, что limnann!=0. Это равенство следует и из того что, выражение ann! является общим членом сходящегося ряда n=1ann!. Для того чтобы доказать формулу n=0f(n)(x0)n!(xx0)n, достаточно убедится, что

limnrn(x)=0,

где rn(x) — остаточный член в формуле Тейлора функции f. Возьмем rn(x) в форме Лагранжа (rn(x)=fn+1(ξ)(n+1)!(xx0)n+1). Из |f(n)(x)|L следует, что

|rn(x)|=|fn+1(ξ)(n+1)!(xx0)n+1|L|xx0|n+1(n+1)!,

где |ξx0|<|xx0|<R. Поскольку в силу limnann!=0

limn|xx0|n+1(n+1)!=0,

то при |xx0|<R выполняется условие limnrn(x)=0, что и требовалось доказать.

Тест:

Тест на тему: «Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора».

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *