Processing math: 100%

Признак Коши

Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

∞∑n=1an=a1+a2+…+an+…
an≥0

Если начиная с какого-то номера n0ϵN ∀n>n0 выполняется неравенство n√an≤q<1 qϵR, то ряд сходится.
Если же ∃n0ϵN:∀n>n0 n√an≥1, то ряд расходится.

Доказательство

Пусть ∃n0ϵN:∀n>n0n√an≤q⇔an≤qn. Так как 0<q<1, то ряд ∑∞n=1qn будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд ∑∞n=1an так же является сходящимся.

Если ∃n0ϵN:∀n>n0n√an≥1⇔an≥1, что противоречит необходимому условию сходимости ряда (limn→∞an=0). Значит ряд ∑∞n=1an расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак Коши сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

∞∑n=1an=a1+a2+…+an+…
an≥0

Если существует предел:

limn→∞n√an=K

Тогда:

  1. Если K<1, то ряд сходится.
  2. Если K>1, то ряд расходится.
  3. Если K=1, то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть limn→∞n√an=K. Из определения предела запишем: ∀ε>0∃Nε:∀n>Nε|n√an−K|<ε⇔K−ε<n√an<K+ε. Если K<1, то q=K+ε<1  и тогда по признаку Коши в форме неравенств
ряд сходится.

Если же  K>1, то q=K−ε>1, а значит ряд расходится.

Пример

Дан ряд ∑∞n=1(n+1n+2)n2. Исследовать ряд на сходимость.

Воспользуемся  признаком Коши в предельной форме.

limn→∞n√an=limn→∞(n+1n+2)n=limn→∞1(n+2n+1)n=limn→∞1(1+1n+1)n∗n+1n+1=limn→∞1((1+1n+1)n+1)nn+1=1e1=1e<1.

Значит исходный ряд сходится.

Литература

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *