Processing math: 100%

Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

Определение

Пусть f — действительная функция на открытом множестве E⊂Rn. Говорят, что f имеет локальный максимум в точке x0∈E, если существует такая окрестность U точки x0, что для всех x∈U выполняется неравенство f(x)≤f(x0).

Локальный максимум называется строгим, если окрестность U можно выбрать так, чтобы для всех x∈U, отличных от x0, было f(x)<f(x0).

Аналогично определяется локальный минимум. Оба объединяются под общим названием локального экстремума.

Необходимые условия экстремума

Пусть f — действительная функция на открытом множестве E⊂Rn. Если в точке x0∈E функция f имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то

в терминах дифференциала

df(x0)=0

или в терминах частных производных

∂f∂xi(x0)=0.

Доказательство

В одномерном случае это — теорема Ферма. Обозначим φ(t)=f(x0+th), где h — произвольный вектор. Функция φ определена на достаточно малых по модулю значениях t. Кроме того, по теореме о производной сложной функции, она дифференцируема, и φ′(t)=df(x0+th)h.

Пусть f имеет локальный экстремум в точке x0. Значит, функция φ при t=0 имеет локальный максимум и, по теореме Ферма, φ′(0)=0.

Мы получили, что df(x0)=0, т.е. дифференциал функции f в точке x0 равен нулю на любом векторе h.

Литература

Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *