Определение предела сходящейся последовательности

Определение

Пусть $\{x^{(n)}\}$ — последовательность точек метрического пространства $X$. Говорят, что последовательность $\{ x^{(n)} \}$ сходится к точке $x$ и обозначают $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = x$, то есть точка $x$ называется пределом последовательности ${x^{(n)}}$, если $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, x) = 0$.

Эквивалентное геометрическое определение может быть сформулировано следующим образом.

Определение

Точка $x$ называется пределом последовательности $\{x^{(n)}\}$, если в любой окрестности точки $x \in X$ содержатся все точки последовательности $\{x^{(n)}\}$, за исключением, быть может, конечного их числа, то есть какой бы шар с центром в точке $x$ мы не взяли, в него попадут все точки последовательности $\{x^{(n)}\}$, кроме, быть может, конечного их числа.

Источники

• Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу, ч.1, 2009 г. стр.243-244
• Tер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, 2001 г. стр. 222
• Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2, 1988-1989г. стр.173.