Необходимые понятия

Разбиения

Пусть множество $G$ измеримо по Жордану в $\mathbb{R}^{n}$ . Совокупность измеримых по Жордану в $\mathbb{R}^{n}$ и попарно непересекающихся множеств $G_{1}, …, G_{N}$ называется разбиением $G$ , если $G=\bigcup_{i=1}^{N}G_{i}.$ Разбиение будем обозначать буквой $T$ .

Пусть $d\left ( G_{i} \right )$ есть диаметр множества $G_{i}$ , т. е. $d\left ( G_{i} \right )=\underset{x\in G_{i}, y\in G_{i}}{\sup}\rho \left ( x,y \right ).$

Число $l\left ( T \right )=\underset{i=\overline{1,N}}{\max d\left(G_{i} \right )}$ будем называть мелкостью разбиения $T$ .

Разбиение $T=\left \{ G_{i} \right \},$ $i=\overline{1,N}$ , будем называть продолжением разбиения ${T}’=\left \{ {G}’_{i} \right \},$ $i=\overline{1,N}$ , и писать $T\prec{T}’$ , если каждое из множеств $G_{i}$ является подмножеством некоторого множества ${G}’_{k}$ . Очевидно, что из $T\prec{T}’$ следует, что $l\left ( T \right )\leq l\left ( {T}’ \right )$ .

Интегральные суммы Римана. Суммы Дарбу

Пусть функция $f\left ( x \right )$ определена на измеримом по Жордану множестве $G$ , а $T$ есть разбиение множества $G:~ T=\left \{ G_{i} \right \}, i=\overline{1,N}.$ Возьмем в каждом из множеств $G_{i}$ по точке $\xi _{i}$ . Выражение $\sigma _{T}\left ( f, \xi, G\right )=\sum_{i=1}^{N}f\left ( \xi _{i} \right )m\left ( G_{i} \right)$ называется интегральной суммой Римана функции $f\left ( x \right )$ на множестве $G$ , соответствующей разбиению $T$ и выборке $\xi =\left ( \xi _{1}, …, \xi _{N} \right )$ . Иногда для краткости сумма Римана обозначается просто через $\sigma _{T}$ .

Если функция $f\left ( x \right )$ ограничена на множестве $G$ , то для любого разбиения $T=\left \{ G_{i} \right \}, i=\overline{1,N}$ , определены числа $m_{i}=\underset{x\in G_{i}}{\inf}f\left ( x \right ), ~~M_{i}=\underset{x\in G_{i}}{\sup }f\left ( x \right ).$

Выражения $S_{T}=\sum_{i=1}^{N}M_{i}m\left ( G_{i} \right ),~~s_{T}=\sum_{i=1}^{N}m_{i}m\left ( G_{i} \right )$ называются верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими разбиению $T$ .

Определение

Число $I$ называется пределом интегральной суммы $\sigma _{T}$ при мелкости разбиения $l\left ( T \right )\rightarrow 0$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдется $\delta > 0$ такое, что для любого разбиения $T$ с мелкостью $l\left ( T \right )< \delta$ и для любой выборки выполняется неравенство $\left | I-\sigma _{T}\left ( f, \xi , G \right ) \right |< \varepsilon.$

Если число $I$ есть предел интегральной суммы при $l\left ( T \right )\rightarrow 0$ , то будем писать $I=\underset{l\left ( T \right )\rightarrow 0}{\lim }\sigma _{T}$ , само число $I$ будем называть кратным интегралом Римана от функции $f\left ( x \right )$ по множеству $G$ , а функцию $f\left ( x \right )$ — интегрируемой на множестве $G$ . Для кратного интеграла Римана используются следующие обозначения: $\underset{G}{\int}f\left(x\right)dx,~~\underset{n}{\underbrace{\underset{G}{\int…\int }}}f\left ( x_{1}, …, x_{n} \right )dx_{1}…dx_{n}.$

В случае $n=2$ интеграл называется двойным, а в случае $n=3$ — тройным. Обозначения для двойного и тройного интеграла: $\underset{G}{\iint}f\left ( x,y \right )dxdy,~~\underset{G}{\iiint} f\left ( x,y,z \right)dxdydz.$

Свойства кратного интеграла

Свойство 1.

Справедливо равенство

$\underset{G}{\int}1\cdot dx=m\left ( G \right )$ .

Спойлер

$\square$ Для любого разбиения $T$ выполнено равенство $\sigma_{T}\left ( 1,\xi, G \right )=\sum_{i=1}^{N}m\left ( G_{i} \right ). ~~ \blacksquare$

[свернуть]

Свойство 2.

Если

$f\left ( x \right )> 0$ и

$f\left ( x \right )$ — интегрируемая на измеримом по Жордану множестве

$G$ функция, то

$\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\geq 0$ .

Спойлер

Свойство 3.

Если

$f_{1}\left ( x \right )$ и

$f_{2}\left ( x \right )$ — интегрируемые на множестве

$G$ функции, а

$\alpha$ и

$\beta$ — произвольные вещественные числа, то и функция

$\alpha f_{1}\left ( x \right )+\beta f_{2}\left ( x \right )$ интегрируема на

$G$ , причем

$\underset{G}{\int }\left ( \alpha f_{1}\left ( x \right ) + \beta f_{2}\left ( x \right ) \right )dx=$

$=\alpha \underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx+\beta \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$

Спойлер

Свойство 4.

Если

$f_{1}\left ( x \right )$ и

$f_{2}\left ( x \right )$ — интегрируемые на множестве

$G$ функции и

$f_{1}\left ( x \right )\leq f_{2}\left ( x \right )$ при

$x\in G$ , то

$\underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx\leq \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$

Спойлер

Свойство 5.

Если функция

$f\left ( x \right )$ непрерывна на измеримом связном компакте

$G$ , то найдется точка

$\xi \in G$ такая, что

$\underset{G}{\int }f\left ( x\right )dx=f\left ( \xi \right )m\left ( G \right ).$

Спойлер

$\square$ Если $m\left ( G \right )=0$ , то равенство очевидно. Пусть $m\left ( G \right )>0$ , $\mu =\underset{x\in G}{\min} f,~M=\underset{x \in G}{\max}f$ . Тогда $\mu\leq f\left ( x \right )\leq M$ при $x \in G$ , $\mu m\left ( G \right )\leq \underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\leq Mm\left ( G \right ).$

Следовательно, $\mu \leq \frac{1}{m\left ( G \right )}\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\leq M.$

Функция, непрерывная на связном множестве и принимающая на нем значения $\mu$ и $M$ , принимает и все промежуточные значения, а поэтому существует точка $\xi \in G$ такая, что $f\left ( \xi \right )= \frac{1}{m\left ( G \right )}\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx. ~~\blacksquare$

[свернуть]

Свойство 6.

Если

$\left \{ G_{k} \right \}, k=\overline{1,m}$ , есть разбиение множества

$G,$ то функция

$f\left ( x \right )$ интегрируема на множестве

$G$ в том и только том случае, когда она интегрируема на каждом из множеств

$G_{k},$ причем

$\underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx= \sum_{k=1}^{m}\underset{G_{k}}{\int}f\left ( x \right )dx.$

Свойство 7.

Произведение интегрируемых на измеримом множестве

$G$ функций есть интегрируемая на множестве

$G$ функция.

Спойлер

Свойство 8.

Если функция

$f\left ( x \right )$ интегрируема на измеримом множестве

$G$ , то функция

$\left | f\left ( x \right ) \right |$ также интегрируема и

$\left | \underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx \right |\leq \underset{G}{\int }\left | f\left ( x \right ) \right |dx.$

Спойлер

Примеры

Пример 1

Определить какой знак имеет интеграл $\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-x^2-y^2}dxdy.$

Спойлер

В силу свойства аддитивности кратного интеграла, имеем: $\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy=$ $=\underset{x^2+y^2\leq 1}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~+\underset{1\leq x^2+y^2\leq 2}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~+$ $+\underset{2\leq x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy.$
Для каждой точки $\left ( x,y \right )$ из круга $x^2+y^2\leq 1$ найдется точка $\left ( \bar{x},\bar{y} \right )$ из кольца $1\leq x^2+y^2\leq 2$ такая, что $\sqrt[3]{1-\left ( x^2+y^2 \right )}+\sqrt[3]{1-\left ( \bar{x^2}+\bar{y^2 }\right )}=0$ , поэтому приходим к выводу, что $\underset{x^2+y^2\leq 1}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~+\underset{1\leq x^2+y^2\leq 2}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~=$
$=\underset{x^2+y^2\leq 2}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy,$ $\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~=\underset{2\leq x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy.$
Так как $\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}< 0$ , когда $\left ( x,y \right )\in \left \{ 2\leq x^2+y^2 \leq 4\right \}$ , то (принимая во внимание последнее равенство) исследуемый интеграл отрицателен.

При решении данного примера мы воспользовались тем, что интеграл Римана интегрируемой функции $f$ не зависит от способа разбиения области интегрирования и выбора точек $\xi_{i}$ в каждой из ячеек разбиения.

[свернуть]

Пример 2 (вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла)

Вычислить площадь фигуры, занимающей область $D$ , ограниченную линиями $x=y^2$ и $x+y=2$ .

Спойлер

Если плоская фигура занимает область $D\subset XOY$ , то ее площадь может быть вычислена с помощью двойного интеграла по его свойству о значении интеграла от функции, тождественно равной единице на области интегрирования. В результате получается формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла: $S_{D}=\underset{D}{\iint}dS~~(*)$

Строим область $D$ и записываем ее системой неравенств: $D:\left\{\begin{matrix}-2\leq y\leq 1\\ y^{2}\leq x\leq 2-y\end{matrix}\right.$ По формуле $(*)$ вычисляем площадь: $S_{D}=\underset{D}{\iint }dS=\underset{D}{\iint }dxdy=\int\limits_{-2}^{1}dy\int\limits_{y^{2}}^{2-y}=$ $=\int\limits_{-2}^{1}dy~\cdot~x \Big|_{y^2}^{2-y}=\int\limits_{-2}^{1}\left ( 2-y-y^2 \right )dy=\left ( 2y-\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3} \right )\Big|_{-2}^1=$ $2\left ( 1+2 \right )-\frac{1}{2}\left ( 1-4 \right )-\frac{1}{3}\left ( 1+8 \right )=4.5$

Ответ: $S_{D}=4.5$ (кв. ед.).

[свернуть]

Пример 3 (вычисление объема с помощью двойного интеграла)

Пусть цилиндрический брус ограничен сверху непрерывной поверхностью $z=f\left (x,y \right)$ , снизу — плоскостью $z=0$ , с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси $Oz$ . Если указанная цилиндрическая поверхность вырезает из плоскости $Oxy$ квадрируемую замкнутую область $D$ , то объем $V$ бруса вычисляется по формуле: $V=\underset{D}{\iint}f\left ( x,y \right )dxdy.~~(**)$

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $z=x^2+y^2,~y=x^2,~y=1,~z=0.$

Спойлер

Тело ограничено сверху параболоидом вращения $z=x^2+y^2$ , снизу — плоскостью $Oxy$ , с боков — цилиндрической поверхностью $y=x^2$ и плоскостью $y=1$ , вырезающими из плоскости $Oxy$ квадрируемую замкнутую область $D=\left \{ -\leq x\leq 1,~x^2 \leq y \leq 1 \right \}.$ В точках множества $D$ , симметричных относительно оси $Oy$ , функция $z=x^2+y^2$ принимает равные значения, поэтому $V=2\underset{x^2\leq y\leq 1}{\underset{0\leq x\leq 1}{\iint}}\left ( x^2+y^2 \right )dxdy=2\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{x^2}^{1}\left ( x^2+y^2 \right )dy=$ $=2\int\limits_{0}^{1}\left ( x^2-x^4+\frac{1}{3}-\frac{x^6}{3} \right )dx=\frac{88}{105}.$

[свернуть]

Литература

Кратный интеграл Римана

Тест: Кратный интеграл Римана.

Задание 1 из 6

1.

Установить соответствие

Элементы сортировки

Если $f_{1}\left ( x \right )$ и $f_{2}\left ( x \right )$ - интегрируемые на множестве $G$ функции, а $\alpha$ и $\beta$ - произвольные вещественные числа, то и функция $\alpha f_{1}\left ( x \right )+\beta f_{2}\left ( x \right )$ интегрируема на $G$ , причем $\underset{G}{\int }\left ( \alpha f_{1}\left ( x \right ) + \beta f_{2}\left ( x \right ) \right )dx=$ $=\alpha \underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx+\beta \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$
Если $f\left ( x \right )> 0$ и $f\left ( x \right )$ - интегрируемая на измеримом по Жордану множестве $G$ функция, то $\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\geq 0$ .
Если $f_{1}\left ( x \right )$ и $f_{2}\left ( x \right )$ - интегрируемые на множестве $G$ функции и $f_{1}\left ( x \right )\leq f_{2}\left ( x \right )$ при $x\in G$ , то $\underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx\leq \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$

Свойство аддитивности

Свойство интеграла от положительной функции

Свойство монотонности

Задание 2 из 6

2.
Если функция $f\left ( x \right )$ интегрируема на измеримом множестве $G$ , то функция $\left | f\left ( x \right ) \right |$ также интегрируема и …
- $\left | \underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx \right |\leq \underset{G}{\int }\left | f\left ( x \right ) \right |dx$
- $\left | \underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx \right |= \underset{G}{\int }\left | f\left ( x \right ) \right |dx$
- $\left | \underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx \right |\geq \underset{G}{\int }\left | f\left ( x \right ) \right |dx$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 6

3.
Если функция $f\left ( x \right )$ _______ на измеримом связном компакте $G$ , то найдется точка $\xi \in G$ такая, что $\underset{G}{\int }f\left ( x\right )dx=f\left ( \xi \right )m\left ( G \right ).$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 6

4.
Вставьте пропущенное слово
- Мелкость разбиения- это наибольший (диаметр) множеств.
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 6

5.
Какие из приведенных ниже интегралов равны площади фигуры, изображенной на рисунке.
- $\int\limits_{0}^{3}f\left ( x \right )dx$
- $\underset{S}{\iint} f\left ( x \right )dxdy$
- $\int\limits_{0}^{3}dx\int\limits_{0}^{f\left ( x \right )}dy$
Правильно

Неправильно
Задание 6 из 6

6.
Установите правильную последовательность в доказательстве свойства:
Если функция $f\left ( x \right )$ непрерывна на измеримом связном компакте $G$ , то найдется точка $\xi \in G$ такая, что $\underset{G}{\int }f\left ( x\right )dx=f\left ( \xi \right )m\left ( G \right ).$
- Если $m\left ( G \right )=0$ , то равенство очевидно. Пусть $m\left ( G \right )>0$ , $\mu =\underset{x\in G}{\min} f,~M=\underset{x \in G}{\max}f$ . Тогда $\mu\leq f\left ( x \right )\leq M$ при $x \in G$ , $\mu m\left ( G \right )\leq \underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\leq Mm\left ( G \right ).$ Следовательно,
- $\mu \leq \frac{1}{m\left ( G \right )}\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\leq M.$
- Функция, непрерывная на связном множестве и принимающая на нем значения $\mu$ и $M$ , принимает и все промежуточные значения, а поэтому существует точка $\xi \in G$ такая, что
- $f\left ( \xi \right )= \frac{1}{m\left ( G \right )}\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx.$
Правильно

Неправильно

Определение и свойства кратного интеграла Римана: 2 комментария

Igor Mazurok:

18/06/2016 в 01:26

— Лучше убрать кириллицу из permalinks
— Gravatar не забыли?
— В четвертом вопросе часто/иногда не везде отображаются формулы. Это проблема плагина. Нужно либо переформулировать вопрос, либо заменить его.

Ответить
Настя Кондратюк:

18/06/2016 в 09:00

Спасибо, исправила.

Ответить

Определение и свойства кратного интеграла Римана

Необходимые понятия

Разбиения

Интегральные суммы Римана. Суммы Дарбу

Определение

Свойства кратного интеграла

Примеры

Пример 1

Пример 2 (вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла)

Пример 3 (вычисление объема с помощью двойного интеграла)

Литература

Кратный интеграл Римана

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

6.

Определение и свойства кратного интеграла Римана: 2 комментария

Добавить комментарий Отменить ответ