Вычисление радиуса сходимости. Формула Коши — Адамара

Пусть дан степенной ряд вида $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^n$ с радиусом сходимости $R$, где $c_n$,$z^{n}\in \mathbb{C}$. Тогда для этого ряда справедлива следующая теорема:

Теорема о вычислении радиуса сходимости степенного ряда

1. Если существует конечный или бесконечный предел$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_n \right |}$, то $$\frac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_n \right |}. (1)$$
2. Если существует конечный или бесконечный предел $\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$, то $$R=\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right | .(2)$$

Доказательство:

1. Докажем формулу (1). Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_n \right |} = \rho$.
   • Если $0<\rho<+\infty$, и $z_0$ — произвольная точка из круга $K=\left \{z:\left |z\right | < \frac{1}{\rho}\right \}$, то $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z_{0}^{n} \right |} = \left | z_{0} \right | \cdot \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |} = \left |z_{0} \right | \cdot \rho < 1.$$ По признаку Коши сходимости ряда, ряд сходится в точке $z_{0}$. В силу того, что точка $z_{0}$ — произвольная точка круга $K$, исходный ряд сходится в $K$.
     Предположим, что точка $z_{m}$ не принадлежит кругу $K$, то есть $\left |z_{m} \right | > \frac{1}{\rho}$.Тогда $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z_{m}^{n} \right |} = \left | z_{m} \right | \cdot \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |} = \left |z_{m} \right | \cdot \rho > 1.$$ По признаку Коши, ряд расходится.
     Значит, ряд сходится в круге $K$, и расходится вне его замыкания. Это значит, что $\frac{1}{\rho}$ — радиус сходимости исходного ряда.
     
     Круг сходимости $K$ c нанесенными точками $z_{0}$ и $z_{m}$

     

     [свернуть]
   • Если $\rho = 0$, то $\forall z \in \mathbb{C}$ выполняется следующее: $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z^{n} \right |} = \left | z \right | \cdot \rho = 0 .$$ По признаку Коши ряд сходится в точке $z$. В силу произвольности точки $z$ ряд сходится на всей комплексной плоскости. И это значит, что радиус сходимости ряда $R=+\infty$.
   • Пусть $\rho = +\infty$. Тогда $\forall z \neq 0$ $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z^{n} \right |} = \left | z \right | \cdot \rho = +\infty.$$ По признаку Коши, ряд расходится в точке $z$. Отсюда выходит, что радиус сходимости $R = 0$.
2. Доказательство (2) по сути идентично доказательству (1). Различие в том, что будет использоваться признак Даламбера сходимости ряда. Для этого выполним следующие преобразования: $$R=\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right | = \frac{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n} \right |}{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n+1} \right |} = \frac{1}{(\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n+1} \right |}{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n} \right |})} = \frac{1}{\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \right |}.$$
   Пусть $\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \right | = \rho$
   • Если $0<\rho<+\infty$, и $z_0$ — произвольная точка из круга $K=\left \{z:\left |z\right | < \frac{1}{\rho}\right \}$, то $z_0$ так же по модулю меньше, чем $\frac{1}{\rho}$. Отсюда следует, что $$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left | z \right | \cdot \lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho < 1.$$ По признаку Даламбера сходимости ряда, ряд сходится в точке $z_{0}$. В силу того, что точка $z_{0}$ — произвольная точка круга $K$, исходный ряд сходится в $K$.
     Предположим, что точка $z_{m}$ не принадлежит замыканию круга $K$, то есть $\left |z_{m} \right | > \frac{1}{\rho}$. Тогда $$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left | z \right | \cdot \lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho > 1.$$ По признаку Даламбера, ряд расходится.
     Значит, ряд сходится в круге $K$, и расходится вне него. А это значит, что $\frac{1}{\rho}$ — радиус сходимости исходного ряда.
   • Пусть $\rho = 0$, то $\forall z \in \mathbb{C}$ выполняется следующее: $$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho = 0.$$ По признаку Даламбера, ряд сходится в точке $z$. В силу произвольности $z$ ряд сходится на всей комплексной плоскости. И это значит, что радиус сходимости ряда $R=+\infty$.
   • Пусть $\rho = +\infty$. Тогда $\forall z \neq 0$ $$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho = +\infty.$$ По признаку Даламбера, ряд расходится в точке $z$. Отсюда выходит, что радиус сходимости $R = 0$.

Замечание

Пределы в формулах (1) и (2) могут не существовать. Однако существует универсальная формула для вычисления радиуса сходимости.

Теорема

Радиус сходимости$R$ степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^n$ высчитывается по формуле:
$$R = \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}},$$
где $\frac{1}{0}=+\infty$ и $\frac{1}{+\infty}=0.$

Доказательство

Доказательство данной теоремы основано на применении обобщенного признака Коши: $$\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z^{n} \right |} = \left | z \right | \cdot \varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |}.$$
Предположим, что ряд сходится в точке $z_{0}$, тогда из обобщенного признака Коши сходимости числового ряда с неотрицательными членами следует, что $\left | z_{0} \right | \cdot \varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |}<1$. Отсюда получаем, что $$\left | z_{0} \right | < \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}.$$
Пусть ряд расходится в точке $z_{m}$. Тогда $\left | z_{m} \right | \cdot \varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |}>1$. Отсюда $$\left | z_{m} \right | > \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}.$$
То есть, если $z$ по модулю меньше чем $\frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}$, то ряд сходится в данной точке, а если $z$ по модулю больше, то ряд в данной точке расходится. Из определения радиуса сходимости следует, что
$$R=\frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}.$$

Список использованной литературы:

• Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2015-2016 гг., 1-ый курс, семестр 2
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа. 3-е изд., испр. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с — стр 427-430.
• Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, том 2.- 720 с. — стр. 104-110
• Коляда В.И., Кореновский А.А., Курс лекций по математическому анализу в 2-х частях, часть 2. — Одесса: Астропринт, 2009.- 292с. — стр.56-60.

Вычисление радиуса сходимости, формула Коши-Адамара

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест по материалу данной статьи

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Найти радиус сходимости ряда: $$1+\frac{2\cdot x}{\sqrt{5\cdot5}}+\frac{4\cdot x^2}{\sqrt{9\cdot5^2}}+\frac{8\cdot x^3}{\sqrt{13\cdot5^3}}+\cdots$$

   • $\frac{\sqrt{5}}{2}$
   • $\infty$
   • $\frac{2}{5}$
   • Невозможно вычислить
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 3

   Выберите, какие формулы и признаки используются для вычисления радиуса сходимости степенного ряда

   • Признак Коши сходимости ряда
   • Критерий Коши равномерной сходимости ряда
   • Формула Грина
   • Признак Даламбера сходимости ряда
   • Формула Коши-Адамара
   • Признак Абеля равномерной сходимости ряда
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 3

   Сопоставьте степенной ряд с его радиусом сходимости

   Элементы сортировки

   • $\infty$
   • $\frac{1}{12}$
   • 1

   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$

   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}\cdot(12)^{n}$

   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$

   Правильно
   

   Неправильно