Задача из журнала «Квант» (2000 год, 4 выпуск)

Условие

Хорды $AC$ и $BD$ окружности с центром $O$ пересекаются в точке $K$ (рис.$1$). Точки $M$, $N$ — центры окружностей, описанных около треугольников $AKB$ и $CKD$. Докажите, что $OMKN$ — параллелограмм.

А.Заславский

<12>Решение

Пусть $X$ — середина $KB$ (рис.$2$). Тогда $\angle KMX=\displaystyle\frac{1}{2}\angle KMB=\angle KAB=\angle KDC$. Поскольку $MX\bot BD$, то $KM\bot CD$. Так как при этом $ON\bot CD$, то $ON\|KM$. Аналогично, $OM\|KN$. Если точки $O$, $K$, $M$, $N$ не лежат на одной прямой, то $OMKN$ — параллелограмм и $OM=KN$. В противном случае рассмотрим ортогональные проекции отрезков $OM$ и $KN$ на $AC$. Так как точки   $O$, $M$, $N$ проектируются в середины отрезков $AC$, $AK$ и $KC$ соответственно, то проекции обоих параллельных отрезков равны $\displaystyle\frac{KC}{2}$, следовательно, равны и длины самих отрезков.