18.1.1 Несобственные интегралы I рода (интегралы по неограниченным промежуткам)

Пусть функция $f$ задана на промежутке $[a, +\infty)$ , где $a \in R$ , и интегрируема по Риману на каждом отрезке $[a, \xi)$ , где $a \lt \xi \lt +\infty$ . Выражение $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ называют несобственным интегралом I рода. Если существует $\lim\limits_{\xi\to +\infty}\int_a^\xi f(x) dx$ то этот несобственный интеграл называют сходящимся, а его значение полагают равным:
$\int_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{\xi \to +\infty}\int_{a}^{\xi}f(x)dx.$
Если же не существует конечного предела, то несобственный интеграл называют расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл:
$\int_{-\infty}^{a}f(x)dx = \lim_{\eta\to -\infty}\int_{\eta}^{a}f(x)dx.$

Пусть теперь функция $f$ задана на всей действительной прямой и интегрируема по Риману на любом отрезке $\left[\eta, \xi\right]$ , где $-\infty \lt \eta \lt \xi \lt +\infty.$
Если существует конечный двойной предел $\lim\limits_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_\eta^\xi f(x) dx$ ,то несобственный интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ называется сходящимся, а его значение полагают равным $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \lim_{\substack{\xi\to +\infty\\ \eta\to-\infty}}\int_{\eta}^{\xi}f(x)dx.$

Сходимость интеграла $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ равносильна тому, что сходятся оба интеграла $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ и $\int_{-\infty}^{a}f(x)dx$ , причем имеет место равенство $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{+\infty}f(x)dx$
где a – произвольное действительное число.

Пусть при некотором

$a \in R$ интегралы

$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ и

$\int_{-\infty}^{a}f(x)dx$ сходятся. Тогда для

$-\infty \lt \eta \lt \xi \lt +\infty$ будем иметь

$\int_{\eta}^{\xi}f(x)dx = \int_{\eta}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{\xi}f(x)dx$
Отсюда, переходя к пределам при

$\xi → +\infty$ и

$\eta → -\infty$ , получаем

$\lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_{\eta}^{\xi}f(x)dx = \lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_{\eta}^{a}f(x)dx + \lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_{a}^{\xi}f(x)dx=\\ = \int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{+\infty}f(x)dx$
т. е. интеграл

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ сходится и для него справедливо равенство

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ .

Для доказательства обратного утверждения зафиксируем произвольное $a \in R$ и предположим, что существует
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_{\eta}^{\xi}f(x)dx.$
Тогда, в силу критерия Коши существования двойного предела, отсюда
следует, что для любого $\varepsilon\gt 0$ найдется такое $A$ , что для любых $\xi^{\prime}, \xi^{\prime\prime} \gt A$ и для любых $\eta^{\prime},\eta^{\prime\prime}\lt −A$ справедливо неравенство
$\left|\displaystyle\int_{\eta^{\prime}}^{\xi^{\prime}}f(x)dx — \int_{\eta^{\prime\prime}}^{\xi^{\prime\prime}}f(x)dx\right|\lt \varepsilon$
Зафиксируем $\varepsilon \gt 0$ и найдем такое $A$ . Можем считать, что $A\gt|a|$ . Выберем $\eta=\eta^{\prime}=\eta^{\prime\prime}\lt −A$ и $\xi^{\prime}, \xi^{\prime\prime}\gt A$ . Тогда получим
$\left|\displaystyle\int_{\xi^{\prime}}^{\xi^{\prime\prime}}f(x)dx\right| = \left|\displaystyle\int_{\eta}^{\xi^{\prime}}f(x)dx — \int_{\eta}^{\xi^{\prime\prime}}f(x)dx\right|\lt \varepsilon,$
т. е. выполнено условие критерия Коши существования предела
$\lim_{\xi\to +\infty}\int_{a}^{\xi}f(x)dx.$
Отсюда следует, что интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ сходится. Аналогично получаем, что и интеграл $\int_{-\infty}^{a}f(x)dx$ также сходится. Имеем
$\int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{+\infty}f(x)dx = \lim_{\eta\to -\infty}\int_{\eta}^{a}f(x)dx + \lim_{\xi\to +\infty}\int_{a}^{\xi}f(x)dx =\\ = \lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\left(\displaystyle\int_{\eta}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{\xi}f(x)dx\right) = \lim_{\substack{\xi\to +\infty \\ \eta\to-\infty}}\int_{\eta}^{\xi}f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ Последний предел существует в силу условия, а выражение справа не
зависит от $a$ . Тем самым доказано $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ для любого $a \in R$ .

Вычислим $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2} = \lim_{\xi\to +\infty}\int_{0}^{\xi}\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{\xi\to +\infty} {\mathrm {arctg}}\,x\bigg|_0^{\xi} = \lim_{\xi\to +\infty}{\mathrm {arctg}}\,x=\frac{\pi}{2}.$

Несобственный интеграл $\int_0^{+\infty}\sin x dx.$ расходится. В самом деле, $\int_0^{\xi}\sin x dx =-\cos x \bigg|_0^{\xi}= 1-cos {\xi}$ не имеет предела.

Примеры решения задач

Пример 1

Вычислить $\int_0^{+\infty}e^{-px}dx.$

\underline {Решение:}

$\int_0^{+\infty}e^{-px}dx= -\frac{1}{p}e^{-px}\bigg|_0^{+\infty}=-\frac{1}{p}\lim_{x\to +\infty}(e^{-px}-1)= \begin{cases} \frac{1}{p}, \text{если $p \gt 0$;} \\ +\infty, \text{если $p\lt 0$.} \end{cases}$ При $p \gt 0 \lim\limits_{x\to +\infty}e^{-px}= \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{e^{px}}=0$ , так как $e^{px}\to+\infty$ при $x\to+\infty.$ При $p\lt 0 \lim\limits_{x\to +\infty}e^{-px} = +\infty.$

Таким образом, интеграл $\int_0^{+\infty}e^{-px}dx$ сходится при $p \gt 0$ и расходится при $p\lt 0.$

[свернуть]

Пример 2

При каких значениях показателя $\lambda \gt 0$ существует несобственный интеграл $\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^\lambda}, (a\gt 0).$

\underline {Решение:}

Пусть $\lambda\neq1$ , тогда $\int_a^{\xi}\frac{dx}{x^\lambda}=\frac{1}{1-\lambda}x^{1-\lambda}\bigg|_a^\xi=\frac{1}{1-\lambda} (\xi^{1-\lambda} — a^{1-\lambda}).$
Это выражение при $\xi\to+\infty$ имеет предел $\infty$ ( $\lambda \lt 1$ ) или конечное число $\frac{1}{1-\lambda} a^{1-\lambda}$ ( $\lambda \gt 1$ ).

Если $\lambda=1$ , имеем $\int_a^{\xi}\frac{dx}{x}=\ln(x)\bigg|_a^\xi=\ln(\xi)-\ln(a)$ и при $\xi\to+\infty$ в пределе получается $+\infty$ . Таким образом, интеграл $\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^\lambda}$ при $\lambda\gt 1$ сходится (и равен $\frac{1}{1-\lambda} a^{1-\lambda}$ ), а при $\lambda\leq 1$ расходится.

[свернуть]

Пример 3

Вычислить $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}.$

\underline {Решение:}

$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\lim\limits_{x\to{+\infty}} {\mathrm {arctg}}\,x -\lim\limits_{x\to{-\infty}} {\mathrm {arctg}}\,x = \frac{\pi}{2} -(-\frac{\pi}{2})=\pi.$

Интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$ сходится и равен $\pi$ .

[свернуть]

Несобственные интегралы по неограниченным промежуткам

Для закрепления пройденного материала предлагается пройти тест.

Литература

Коляда В.И.,Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу / В.И.Коляда.-Одесса: Изд-во «Астропринт», 2010. т.2. -С.102-105.
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике / И.А.Каплан. -Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1967. ч.3. -С.760-761.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Г.М.Фихтенгольц -Москва: Изд-во «Наука», 1969. т.2. -С.553.
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

18.1.1 Несобственные интегралы I рода (интегралы по неограниченным промежуткам)

Примеры решения задач

Несобственные интегралы по неограниченным промежуткам

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Литература

Добавить комментарий Отменить ответ

Средний результат
Ваш результат