Processing math: 100%

М1827. Доказать, что прямая проходит через центр окружности

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 4 выпуск)

Условие

Пусть Q — произвольная точка окружности с диаметром AB,QH — перпендикуляр, опущенный на AB. Точки C и М — это точки пересечения окружности с центром Q и радиусом QH с первой окружностью.

Докажите, что прямая CM делит радиус QH пополам (рис.1).

рис. 1

Проведем прямые CH и MH до пересечения с окружностью в точках F и R соответственно (рис.2). Тогда ∠MCF=12∪MF=∠MRF и ∠MCF=∠MHA, так как AH — касательная; значит, ∠RHB=∠HRF, или AB‖FR. В ΔHRW угол ∠HWR=12∪QR=∠QMH, но ∠QMH=∠QHM(MQ=QH), т.е. ΔHRW — равнобедренный и RI — высота в ΔHRW(I=HW∩RF). Получим, что HI=IW,QH=HW. Пользуясь результатом задачи «Проблема бабочки», видим, что IH=HL=IW=LQ, что и требовалось доказать. (О «бабочках» см., например, книгу: Г.С.Коксетер, С.Л.Грейтцер «Новые встречи с геометрией» (стр. 59-60)).

рис. 2

В.Дубов

М1827. Доказать, что прямая проходит через центр окружности: 2 комментария

  1. Обозначения углов и отрезков на рисунках делают тоньше основных линий.
    На втором рисунке тоже следует нарисовать точки как на первом.
    Обозначение углов это тонкая дуга окружности с центром в вершине угла. Не верю, что вы не в курсе.
    «Новые встречи с геометрией» нужно сделать ссылкой — https://www.dropbox.com/s/u3qpzgcp892udw0/kokseter.djvu.
    На теорему о бабочке тоже нужно дать ссылку. Можно с Википедии. Вы вообще разбирались с задачей или просто набрали её как секретарь-машинистка?

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *