Основная теорема арифметики

Докажем существование такого разложения и то, что оно единственно.

Существование. Пусть $n \in N, n > 1$ и мы имеем два варианта.Если $n$ простое, и тогда разложение уже получено, либо $n$ составное, а значит может быть представлено в виде $n=p_{0}a_{0}$, где $p_0$ — наименьший делитель $n$. Допустим $a_{0}>1$, а значит у нас снова два варианта. Либо $a_{0}$ — простое, либо оно составное и может быть представлено как $a_{0}=p_{1}a_{1}$, где $p_1$ — наименьший делитель $a_{0}$. Таким образом мы дойдем до $a_{m-1}=p_{m}a_{m}$, где $a_{m}=1$. Тогда $n=p_{0}p_{1}p_{2}\ldots p_{m}$, где $p_{i}, i=\overline{0, m}$ является простым по лемме (1) о простоте наименьшего делителя.

Единственность. Пусть существуют два разложения числа $n\in N, n > 1$ на простые множители. Тогда $p_{1}p_{2}\ldots p_{n}=q_{1}q_{2}\ldots q_{m}$. Так как $p_{1}p_{2}\ldots p_{n}$ разложение $n$, а значит является его делителем, то $p_{1} \mid q_{1}q_{2}\ldots q_{m}$. Если точнее, оно делит $q_{j}, j= \overline{1, m}$.Но так как $q_{j}$ и $p_{1}$ — простые, то это возможно только в том случае, если $p_{1}=q_{i}$. Так как порядок множителей не имеет значения, пусть это будет $q_{1}$. И тогда мы можем сократить равенство на $p_{1}$ и получим $p_{2}\ldots p_{n}=q_{2}\ldots q_{m}$. Повторяя рассуждения, мы придем к тому, что кончатся множители одного разложения (предположим что $n < m$) и мы получим такое равенство $1= q_{n}q_{n+1} \ldots q_{m}$. Однако, так как все множители — простые, а значит (по определению простого числа) найдено противоречие. Это доказывает единственность.