1. Каноническое разложение многочлена — разложение на неприводимые множители.
2. Всякий многочлен $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами представим единственным образом в виде произведения своего старшего коэффициента и линейных многочленов вида $latex (x-\alpha ),$ соответствующих его действительным корням, и квадратных вида $latex (x-\alpha )\cdot (x-\overline{\alpha } )=$ $latex x^{2} — (\alpha + \overline{\alpha } ) +\alpha \cdot \overline{\alpha },$ соответствующих парам сопряжённых комплексных корней (следствие из основной теоремы алгебры для вещественного случая).
3. Дискриминант для уравнения третей степени выглядит, как: $latex D(f)= -4a_{2}^{3}a_4 + a_{2}^{2}a_{3}^{2} — 4a_1 a_{3}^{3} + 18a_1 a_2 a_3 a_4 — 27a_{1}^{2} a_{4}^{2}.$
4. Если комплексное (но не действительное) число $latex \alpha$ служит корнем многочлена $latex f(x),$ с действительными коэффициентами, то корнем для $latex f(x)$ будет и сопряжённое число $latex \overline{\alpha }.$
5. Любой многочлен выше второй степени (и при том нечётной) с вещественными коэффициентами точно имеет хотя бы один вещественный корень.

Исходя из основной теоремы алгебры, и всего вышесказанного данный многочлен степени 3 точно имеет 3 комплексных корня, однако он имеет вещественные коэффициенты, так что возможны 3 случая:

• $latex D(f)>0 \Rightarrow$ полином имеет 3 различных вещественных корня.
• $latex D(f)=0 \Rightarrow$ хотя бы 2 корня совпадают.
• $latex D(f)<0 \Rightarrow$ уравнение имеет один вещественный и пару сопряжённых корней.

1. Найти дискриминант и определить какими будут корни (комплексными или вещественными)
2. Согласно результату подобрать оптимальный способ нахождения корней (например формула Кардано или Виета) и найти их.
3. Согласно найденным корням разложить на линейные (неприводимые) множители полиномы.
[свернуть]

1. Найдём дискриминант многочлена $latex f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6.$
   $latex D(f)= -4a_{2}^{3}a_4 + a_{2}^{2}a_{3}^{2} — 4a_1 a_{3}^{3} — 27a_{1}^{2} a_{4}^{2} + 18a_1 a_2 a_3 a_4=$$latex -4\cdot (-6)^{3}\cdot (-6)+(-6)^2 \cdot 11^{2} — 4\cdot 1\cdot 11^{3} -$$latex 27\cdot 1^2 \cdot (-6)^{2}+18\cdot (-6) \cdot (-6) \cdot 11=$$latex -5184+4356-5324-972+7128=4$
2. Подберём метод решения. $latex D(f)=4>0 \Rightarrow$ все корни вещественные,следовательно будет удобно использовать формулу Виета (которая также является одним из следствий основной теоремы алгебры).
   Найдём корни. По теореме Виета для кубического полинома имеем, что:
   • $latex x_{1} + x_{2} + x_{3}= -\frac{a_{1}}{a_{2}}$
   • $latex x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac {a_{3}}{a_{1}}$
   • $latex x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = — \frac{a_{4}}{a_{1}}$

   Учитывая значения коэффициентов (а в особенности то, что $latex a_1 = 1$) имеем:

   • $latex x_{1} + x_{2} + x_{3}= 6$
   • $latex x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = 11$
   • $latex x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 6$

   Очевидно, что $latex x_1 =1, x_2 = 2, x_3 = 3.$

3. Учитывая найденные корни, разложим данный полином. Все корни данного полинома являются вещественными, а старший многочлен равен 1, следовательно разложение будет вида $latex (x-\alpha _1 )(x-\alpha _2 )(x-\alpha _3 ),$ где $latex \alpha _i , i= \overline{1,3}$ — соответствующие корни многочлена. Имеем:
   $latex f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6=$$latex (x-1)(x-2)(x-3).$ Задача решена.
   [свернуть]

1. Всякий многочлен $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами представим единственным образом в виде произведения своего старшего коэффициента и линейных многочленов вида $latex (x-\alpha ),$ соответствующих его действительным корням, и квадратных вида $latex (x-\alpha )\cdot (x-\overline{\alpha } )=$ $latex x^{2} — (\alpha + \overline{\alpha } ) +\alpha \cdot \overline{\alpha },$ соответствующих парам сопряжённых комплексных корней (следствие из основной теоремы алгебры для вещественного случая).
2. Если комплексное (но не вещественное) число $latex \alpha$ служит корнем многочлена $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами, то корнем для этого многочлена $latex f(x)$ также будет и сопряжённое к нему $latex \overline{\alpha }.$
   
   [свернуть]

Учтите, что $latex f(x)=x^{6} +27 \Rightarrow x=\sqrt[6]{-27},$ а также, если $latex x \in \mathbb{C} \Rightarrow$ существует ровно n различных значений для $latex \sqrt[n]{x},$ причём полученных по формуле: $latex x=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi),$$latex \sqrt[n]{x}=w_{k}, k = \overline{0,n-1},$$latex w_k = \sqrt[n]{r}\cdot (\cos \frac{\phi + \pi \cdot k}{n} +$$latex i\cdot \sin \frac{\phi + \pi \cdot k}{n})$

Как было написано в указаниях к решению, $latex f(x)=x^{6} +27 \Rightarrow x=\sqrt[6]{-27},$ однако следует помнить, что если $latex x \in \mathbb{C} \Rightarrow$ существует ровно n различных значений для $latex \sqrt[n]{x},$ причём полученных по формуле: $latex x=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi),$$latex \sqrt[n]{x}=w_{k}, k = \overline{0,n-1},$$latex w_k = \sqrt[n]{r}\cdot (\cos \frac{\phi + \pi \cdot k}{n} +$$latex i\cdot \sin \frac{\phi + \pi \cdot k}{n}).$ Для начала переведём -27 в тригонометрический вид комплексного числа: $latex -27 = -27 +0\cdot i = 27\cdot (\cos (-\pi )+i\cdot \sin (-\pi )).$ Теперь мы можем воспользоватся формулой, описанной ранее:

1. $latex w_0 = \sqrt[6]{27}\cdot (\cos -\frac{\pi}{6} +$$latex i\cdot \sin -\frac{\pi}{6})=$$latex \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}- i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex \frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $latex w_1 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{\pi}{6} +$$latex i\cdot \sin \frac{\pi}{6})=$$latex \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex \frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
3. $latex w_2 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{3\pi}{6} +$$latex i\cdot \sin \frac{3\pi}{6})=$$latex i\cdot \sqrt{3}$
4. $latex w_3 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{5\pi}{6} +$$latex i\cdot \sin \frac{5\pi}{6})=$$latex -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex -\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
5. $latex w_4 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{7\pi}{6} +$$latex i\cdot \sin \frac{7\pi}{6})=$$latex -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}- i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex -\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
6. $latex w_5 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{9\pi}{6} +$$latex i\cdot \sin \frac{9\pi}{6})=$$latex -i\cdot \sqrt{3}$

Заметим, что $latex w_0 = \overline{w_1},$ $latex w_2 = \overline{w_5},$ $latex w_3 = \overline{w_5},$ как и должно быть, ведь если комплексное (но не вещественное) число служит корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то корнем для этого многочлена также будет и сопряжённое к нему.
Так, как все корни данного многочлена комплексные, то все множители будут вида $latex (x-w_k )\cdot (x-\overline{w_k } )=$$latex x^{2} — (w_k + \overline{w_k } )\cdot x +w_k \cdot \overline{w_k }, k=\overline{0,n-1}.$ Данный полином шестой степени, следовательно он имеет 6 корней, однако, так, как они комплексные, то для разложения в вещественные множители, сопряжённые значения будут перемножены и в итоге мы получим 3 множителя. Найдём их, учитывая написанное выше ($latex w_0 = \overline{w_1},$ $latex w_2 = \overline{w_5},$ $latex w_3 = \overline{w_5}$):

1. $latex m_1 = x^2 — (w_0 + w_1)x + w_0 \cdot w_1 =$$latex x^2 — (\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})x +$$latex (\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=$$latex x^2-x+3$
2. $latex m_2 = x^2 — (w_3 + w_4)x + w_3 \cdot w_4 =$$latex x^2 — (-\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{3}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})x +$$latex (-\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (-\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=$$latex x^2+x+3$
3. $latex m_3 = x^2 — (w_2 + w_5)x + w_2 \cdot w_5 =$$latex x^2 — (i\cdot \sqrt{3}-i\cdot \sqrt{3})x +$$latex i\cdot \sqrt{3}\cdot (-i\cdot \sqrt{3})=$$latex x^2+3$

В результате имеем: $latex f(x) = x^6 +27 = (x^2-x+3)(x^2+x+3)(x^2+3)$

[свернуть]

Одним из следствий из основной теоремы алгебры является то, что всегда существует многочлен не более, чем n-ной степени, принимающий наперёд заданные значения ($latex y_0,y_1,…y_{n+1}$) при n+1 заданных значениях неизвестного ($latex x_0,x_1,\dots x_{n+1}$), и по Лагранжу такой многочлен определяется формулой: $$f(x)=\underset{i=1} {\overset{n+1} {\sum }} \frac{y_i (x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\dots (x-a_{n+1})}{(a_i -a_1)(a_i -a_2)\dots (a_i -a_{i-1})(a_i -a_{i+1})\dots (a_i -a_{n+1})}$$

Подставим данные значения в интерполяционную формулу Лагранжа, получим:
$latex \large \frac{2(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)}+$$latex \large \frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)}+$$latex \large \frac{4(x-1)(x-2)(x-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)}+$$latex \large \frac{3(x-1)(x-2)(x-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)}=$$latex \large -\frac{1}{3}(x-2)(x-3)(x-4)-$$latex \large \frac{1}{2}(x-1)(x-3)(x-4)+$$latex \large 2(x-1)(x-2)(x-4)+$$latex \large \frac{1}{2}(x-1)(x-2)(x-3)=$$latex \large -\frac{4}{3}x^3+10x^2-\frac{65}{3}x+15$