Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемости или непрерывности функции в точке в одномерном случае, то перейдите по ссылкам.

Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть еще одно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное с ее непрерывностью.

Теорема. Если действительная функция нескольких действительных переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$ . Тогда ее полное приращение в точке $a$ можно записать в виде

$\Delta f(a)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|,$

где $\alpha(\Delta x)\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0$ . Из этого представления следует, что существует предел

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta f(a)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta x_{k}}+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)|\Delta x|)}=0$ ,

означающий, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$ .

Литература

Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Предлагаем проверить свои знания

Задание 1 из 4

1.

Количество баллов: 4

Рубрика: Математический анализ

Найти производные следующих функций:

Элементы сортировки

$2^x\ln 2-\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{\cos(\tan(\sqrt{x}))}{2\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}}$
$3x^2-1$
$\frac{e^x+14(x^2-2)}{x^2+2x}$

$2^x-\arctan {x}$

$\sin(\tan(\sqrt{x}))$

$x^3-x$

$\frac{(e^x+14)}{(x^2+2x)} x$

Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 2

Рубрика: Математический анализ
Заполните пропуски
- Если функция нескольких переменных дифференцируема в некоторой точке, то она (непрерывна) в этой точке.
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 2

Рубрика: Математический анализ
Является ли необходимое условие дифференцируемости функции достаточным условием дифференцируемости?
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 2

Рубрика: Математический анализ
Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$ . Тогда ее полное приращение в точке $a$ можно записать в виде
- $\Delta f(a)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|$
- $\Delta f(a)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)$
- $\Delta f(x)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|$
- $\Delta f(a)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+|\Delta x|$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке: 2 комментария

— номера страниц в списке литературы
— список литературы оформлен неудачно, а в части «Линейная алгебра и функции многих переменных» просто ошибочно
— тангенс и арктангенс в тестах заведены не как функции

Ответить

Так «Учебное пособие по дисциплине «Функции многих переменных» cтр. 22-24» ссылки не офомляются. Загляните в любую книгу — автор, название, издательство, год, страницы.

Ответить

Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Таблица лучших: Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке: 2 комментария

Добавить комментарий Отменить ответ

Средний результат
Ваш результат