Пусть функция f(x):R→R абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке [a,b].
Если существует конечный предел
limN→∞N∫−Nf(x)dx,
то этот предел будем называть интегралом в смысле главного значения и обозначать через v.p.+∞∫−∞f(x)dx. Таким образом,
v.p.+∞∫−∞f(x)dx=limN→∞N∫−Nf(x)dx.
Если ∞∫−∞f(x)dx сходящийся, то он существует и в смысле главного значения. Обратное утверждение неверно. Ясно, что для любой нечетной, абсолютно интегрируемой на любом конечном отрезке функции интеграл от этой функции в смысле главного значения равен нулю.
Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема на отрезке[a,β], содержащимся в отрезке [a,b] и c¯∈[a,β], c∈(a,b).
Тогда:
v.p.b∫af(x)dx=limϵ→+0[c−ε∫af(x)dx—b∫c+εf(x)dx]
Пусть для абсолютно интегрируемой на R функции f(x) справедливо представление в виде интеграла Фурье, т.е. ∀x∈R справедливо
f(x)=12π+∞∫−∞dy+∞∫−∞f(t)cos(y(x−t))dt=
=+∞∫−∞a(y)cos(yx)dy++∞∫−∞b(y)sin(yx)dy,(1) где
a(y)=12π+∞∫−∞f(t)cos(yt)dt, b(y)=12π+∞∫−∞f(t)sin(yt)dt.
Лемма 1. Если f(x) — абсолютно итегрируемая на R, то a(y) и b(y), непрерывны на R.
Докажем непрерывность a(y).
a(y)=12π+∞∫−∞f(t)cos(yt)dt
Из этого следует, что
|△a(y)|= =|a(y+△y)−a(y)|≤ ≤1π+∞∫−∞|f(t)||sin(t△y2)|dt.(2)
Так как функция f(t) абсолютно интегрируема, то интервал (−∞,+∞) можно разбить на три таких интервала (−∞,−c),(−c,c) и (c,+∞), что по бесконечным интервалам интегралы от функции
∣f(x)∣ меньше либо равны ε3. Второй интеграл в формуле (2) меньше, чем
c2π∣△y∣c∫−c∣f(t)∣dt,
и, следовательно ∃δ>0что при ∣△y∣<δ второй интеграл в формуле(1) меньше ε3. Из (*) следует, что при ∣△y∣<δ
приращение ∣△a(y)∣<ε. Рассмотрим несобственный интеграл
K(y)=+∞∫−∞f(t)sin(y(x−t))dt=
=+∞∫−∞f(t)(sin(yx)cos(yt)−cos(yx)sin(yt))dt= =2π(a(y)sin(yx)−b(y)cos(yx)).
В силу леммы 1 функция K(y) непрерывна на R. Так как функция K(y) нечетна, то
12πv.p.+∞∫−∞K(y)dy= =v.p.+∞∫−∞dy+∞∫−∞f(t)siny(x−t)dt=0.(3)
Теорема 1. Если для абсолютно интегрируемой на R функции f(x) справедливо f(x)=12π+∞∫−∞dy+∞∫−∞f(t)cos(y(x−t))dt=
=+∞∫−∞a(y)cos(yx)dy++∞∫−∞b(y)sin(yx)dy
то справедливо, что f(x)=v.p.12π+∞∫−∞(+∞∫−∞f(t)e−iytdt)eiyxdy,(4)
f(x)=v.p.12π+∞∫−∞(+∞∫−∞f(t)eiytdt)e−iyxdy.(5)
(4) получается умножением равенства (3) на мнимую единицу, сложить его с равенством (4) и воспользоваться формулами Эйлера
cos(y(x−t))+Isin(y(x−t))=eiy(x−t)=eiyxe−iyt
Аналогично получается (5). Интеграл, стоящий в праваой части равенства (4), называется интегралом Фурье f(x) в комплексной форме.
Примеры
Пример 1.Представить интегралом Фурье в комплексной форме функциюf(x)={0,x<0h,0≤x≤τ0,x>τ
Пример 2. Представить интегралом Фурье в комплексной форме функцию f(x)={−e−2x,x≥0,2ex,x<0
Интегралы в смысле главного значения
Рекомендуется пройти
