Processing math: 100%

7.6 Теоремы о среднем

Теорема 1 (первая теорема о среднем значении). Пусть функции f и g интегрируемы на [a,b], причем функция g не меняет знак на [a,b]. Пусть m=infx[a,b]f(x),M=supx[a,b]f(x). Тогда найдется такое число μ[m,M], что baf(x)g(x)dx=μbag(x)dx.

Можем считать, что a<b, т.к. если поменять местами a и b, то знаки обеих частей равенства поменяются на противоположные. Пусть g(x)0. Неравенство mf(x)M умножим на g(x) и проинтегрируем от a до b. В силу монотонности и линейности интеграла получим mbag(x)dxbaf(x)g(x)dxMbag(x)dx. Если bag(x)dx=0, то из этого неравенства видно, что утверждение теоремы справедливо при любом μ. Если же bag(x)dx>0, то положим μ=baf(x)g(x)dxbag(x)dx. Тогда из полученного выше равенства следует, что mμM, и теорема доказана.

Случай g(x)0 рассматривается аналогично.

Следствие. Если в условиях теоремы 1 функция f непрерывна на [a,b], то найдется такая ξ[a,b], что baf(x)g(x)dx=f(ξ)bag(x)dx.

Действительно, в этом случае, по теореме Больцано — Коши о промежуточном значении, число μ является значением функции f в некоторой точке ξ[a,b].

Лемма.Пусть функция g интегрируема на отрезке [a,b]. Тогда функция G(x)xag(t)dt(axb) равномерно непрерывна на [a,b].

Пусть x,x[a,b],x<x. Тогда G(x)G(x)=xag(t)dtxag(t)dt= =xag(t)dt+xxg(t)dtxag(t)dt=xxg(t)dt. Поскольку g интегрируема, то она ограничена, т.е. существует такой M, что |g(t)|M для всех t[a,b]. Поэтому получаем G(x)G(x)∣≤xxg(t)dtM(xx). Отсюда следует, что функция G равномерно непрерывна на [a,b].

Теорема 2 (вторая теорема о среднем значении). Пусть функции f и g интегрируемы на [a,b], причем функция f монотонна на [a,b]. Тогда существует точка ξ[a,b], такая, что baf(x)g(x)dx=f(a)ξag(x)dx+f(b)bξg(x)dx.

Сначала предположим что f убывает на [a,b] и неотрицательна. Возьмем произвольные разбиение a=x0<x1<<xn=b отрезка [a,b]. Тогда, по свойству аддитивности интеграла, Ibaf(x)g(x)dx=n1i=0xi+1xif(x)g(x)dx= =n1i=0f(xi)xi+1xig(x)dx+n1i=0xi+1xi[f(x)f(xi)]g(x)dxI+ρ. Для оценки суммы ρ воспользуемся тем, что интегрируемая функция g ограничена, т.е. существует такое M, что g(x)∣≤M,x[a,b]. Тогда получим ρ∣≤n1i=0xi+1xif(x)f(xi)∣∣g(x)dxMn1i=0ωiΔxi, где ωi — колебания функции f на [xi,xi+1]. Правая часть стремится к нулю при стремлении к нулю диаметра разбиения в силу критерия интегрируемости Римана. Следовательно, сумма I стремится к интегралу I. Оценим I. Для этого обозначим G(x)=xag(t)dt. Получим I=n1i=0f(xi)[G(xi+1G(xi)]=n1i=0f(xiG(xi+1)n1i=0f(xi)G(xi)= =ni=1f(xi1)G(xi)n1i=1f(xi)G(xi)= f(xn1)G(xn)+n1i=1[f(xi1)f(xi)]G(xi). Мы воспользовались равенством G(x0)=G(a)=0.

Обозначим через L и U соответственно нижнюю и верхнюю грани функции G на [a,b]. Поскольку, в силу леммы, функция G непрерывна на [a,b], то они существуют в силу первой теоремы Вейерштрасса. Учитывая также, что функция f, по предположению, неотрицательна и монотонно убывающая, т.е. f(xi1)f(xi)0, получаем следующее неравенство: L[f(xn1)+n1i=1[f(xi1)f(xi)]] IU[f(xn1+n1i=1[f(xi1)f(xi)]]. При этом мы использовали неравенство LG(xi)U. Поскольку, как легко видеть, сумма в квадратных скобках равна f(x0)=f(a), то полученное неравенство принимает вид Lf(a)IUf(a). Но поскольку II при d()0, то отсюда получаем Lf(a)IUf(a). Разделив это неравенство на f(a)>0, получим LIf(a). Отсюда следует, что I=f(a)G(ξ), а учитывая определение функции G, получаем равенство baf(x)g(x)dx=f(a)ξag(x)dx(ξ[a,b]).(7.4)

Итак, равенство (7.4) доказано нами в предположении, что функция f убывает и неотрицательна. Рассмотрим теперь случай, когда f убывает на [a,b]. Положим ˉf(x)=f(x)f(b). Тогда ˉf убывает и неотрицательна. По доказанному, найдется точка ˉξ, такая что baˉf(x)g(x)dx=ˉf(a)ˉξag(x)dx(ˉξ[a,b]). Учитывая, что ˉf(x)=f(x)f(b), отсюда получаем ba[f(x)f(b)]g(x)dx=[f(a)f(b)]ˉξag(x)dx, или, что то же самое, baf(x)g(x)dx=f(a)ˉξag(x)dx+f(b)bag(x)dxf(b)ˉξag(x)dx= =f(a)ˉξag(x)dx+f(b)bˉξg(x)dx. Этим доказано равенство (7.3).

В случае когда функция f возрастает и неотрицательна на [a,b], аналогично тому, тому как было доказано равенство (7.4), можно показать, что существует такая точка ξ, что baf(x)g(x)dx=f(b)bξg(x)dx.(7.5) Далее, из (7.5) легко можно получить (7.3) точно так же, как и (7.3) было получено из (7.4).

Замечание. Формулы (7.3) — (7.5) называются формулами Бонне. В этих равенствах точки ξ, вообще говоря, разные. В самом деле, мы можем изменить функцию f в точках a и b, сохранив при этом монотонность функции f. При этом левая часть (7.3) не изменится, а изменение множителей f(a) и f(b) перед интегралами справа в (7.3), очевидно, повлечет изменение значение ξ справа в (7.3).

Вторую теорему о среднем иногда записывают в следующем виде: baf(x)g(x)dx=f(a+0)ξag(x)dx+f(b0)bξg(x)dx. В этом равенстве точка ξ, вообще говоря, не совпадает со значением ξ в равенстве (7.3).

Примеры применения теорем о среднем.

Пример 1. Найти limn10xn1+xdx. Оценим 001xn1+xdx10xndx=1n+1. Отсюда получаем limn10xn1+xdx=0.

Пример 2. Найти limn0π2sinnxdx. Зафиксируем ε>0. Тогда получим 0π2sinnxdx=π2ε20sinnxdx+ππ2ε22sinnxdx (sin(π2ε2))nπ2+ε2. Поскольку sin(π2ε2)<1, то первое слагаемое справа стремится к нулю при n. Поэтому найдется такое N, что для всех nN справедливо неравенство (sin(π2ε2))nπ2<ε2. Итак, для заданного ε>0 мы нашли номер N, начиная с которого 0π2sinnxdx<ε. Это означает что limnπ20sinnxdx=0.

Пример 3. Оценить сверху I10sinx1+x2dx.

Первый способ.

Применяя первую теорему о среднем, получаем I=11+ξ210sinxdx=11+ξ2(cosx)10=11+ξ2(1cos1)1cos1.

Второй способ.

В силу первой теоремы о среднем I=sinη01dx1+x2=sinηarctanx10=π4sinηπ4sin1.

Пример 4. Оценить интеграл IBAsinxxdx,0<A<B<+.

Первый способ.

Применим вторую теорему о среднем. Для этого обозначим f(x)=1x и g(x)=sinx. Функция f монотонна на [A,B], так что по второй формуле Бонне получаем I=1AξAsinxdx=1A(cosx)ξA=1A(cosAcosξ). Отсюда следует, что I∣≤2A.

Второй способ.

Применяя первую теорему о среднем, получим I=sinξBAdxx=sinξlnBA. Отсюда следует, что I∣≤lnBA.

Примеры решения задач

Пример 1 Найти среднее значение функции f(x)=sin2x на отрезке [0;2π].

Решение

Пользуясь теоремой о среднем имеем:μ=1babaf(x)dx=12π2π0sin2xdx=14π2π0(1cos2x)dx= =14π(x12sin2x)02π=14π(2π12sin4π)=12. Итак, μ=12.

Литература

  • В. И. Коляда, А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу». — Одесса: Астропринт, 2009, ч.1, раздел 7 «интеграл Римана».(стр. 197 — 203).
  • Б. П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997г.

Теоремы о среднем

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *