Теорема 1 (первая теорема о среднем значении). Пусть функции f и g интегрируемы на [a,b], причем функция g не меняет знак на [a,b]. Пусть m=infx∈[a,b]f(x),M=supx∈[a,b]f(x). Тогда найдется такое число μ∈[m,M], что ∫baf(x)g(x)dx=μ∫bag(x)dx.
Случай g(x)≤0 рассматривается аналогично.
Следствие. Если в условиях теоремы 1 функция f непрерывна на [a,b], то найдется такая ξ∈[a,b], что ∫baf(x)g(x)dx=f(ξ)∫bag(x)dx.
Действительно, в этом случае, по теореме Больцано — Коши о промежуточном значении, число μ является значением функции f в некоторой точке ξ∈[a,b].
Лемма.Пусть функция g интегрируема на отрезке [a,b]. Тогда функция G(x)≡∫xag(t)dt(a≤x≤b) равномерно непрерывна на [a,b].
Обозначим через L и U соответственно нижнюю и верхнюю грани функции G на [a,b]. Поскольку, в силу леммы, функция G непрерывна на [a,b], то они существуют в силу первой теоремы Вейерштрасса. Учитывая также, что функция f, по предположению, неотрицательна и монотонно убывающая, т.е. f(xi−1)−f(xi)≥0, получаем следующее неравенство: L[f(xn−1)+n−1∑i=1[f(xi−1)−f(xi)]]≤ ≤I′≤U[f(xn−1+n−1∑i=1[f(xi−1)−f(xi)]]. При этом мы использовали неравенство L≤G(xi)≤U. Поскольку, как легко видеть, сумма в квадратных скобках равна f(x0)=f(a), то полученное неравенство принимает вид Lf(a)≤I′≤Uf(a). Но поскольку I′→I при d(∏)→0, то отсюда получаем Lf(a)≤I≤Uf(a). Разделив это неравенство на f(a)>0, получим L≤If(a). Отсюда следует, что I=f(a)G(ξ), а учитывая определение функции G, получаем равенство ∫baf(x)g(x)dx=f(a)∫ξag(x)dx(ξ∈[a,b]).(7.4)
Итак, равенство (7.4) доказано нами в предположении, что функция f убывает и неотрицательна. Рассмотрим теперь случай, когда f убывает на [a,b]. Положим ˉf(x)=f(x)−f(b). Тогда ˉf убывает и неотрицательна. По доказанному, найдется точка ˉξ, такая что ∫baˉf(x)g(x)dx=ˉf(a)∫ˉξag(x)dx(ˉξ∈[a,b]). Учитывая, что ˉf(x)=f(x)−f(b), отсюда получаем ∫ba[f(x)−f(b)]g(x)dx=[f(a)−f(b)]∫ˉξag(x)dx, или, что то же самое, ∫baf(x)g(x)dx=f(a)∫ˉξag(x)dx+f(b)∫bag(x)dx−f(b)∫ˉξag(x)dx= =f(a)∫ˉξag(x)dx+f(b)∫bˉξg(x)dx. Этим доказано равенство (7.3).
В случае когда функция f возрастает и неотрицательна на [a,b], аналогично тому, тому как было доказано равенство (7.4), можно показать, что существует такая точка ξ, что ∫baf(x)g(x)dx=f(b)∫bξg(x)dx.(7.5) Далее, из (7.5) легко можно получить (7.3) точно так же, как и (7.3) было получено из (7.4).
Замечание. Формулы (7.3) — (7.5) называются формулами Бонне. В этих равенствах точки ξ, вообще говоря, разные. В самом деле, мы можем изменить функцию f в точках a и b, сохранив при этом монотонность функции f. При этом левая часть (7.3) не изменится, а изменение множителей f(a) и f(b) перед интегралами справа в (7.3), очевидно, повлечет изменение значение ξ справа в (7.3).
Вторую теорему о среднем иногда записывают в следующем виде: ∫baf(x)g(x)dx=f(a+0)∫ξ′ag(x)dx+f(b−0)∫bξ′g(x)dx. В этом равенстве точка ξ′, вообще говоря, не совпадает со значением ξ в равенстве (7.3).
Примеры применения теорем о среднем.
Пример 1. Найти limn→∞∫10xn1+xdx. Оценим 0≤∫01xn1+xdx≤∫10xndx=1n+1. Отсюда получаем limn→∞∫10xn1+xdx=0.
Пример 2. Найти limn→∞∫0π2sinnxdx. Зафиксируем ε>0. Тогда получим ∫0π2sinnxdx=∫π2−ε20sinnxdx+∫ππ2−ε22sinnxdx≤ ≤(sin(π2−ε2))nπ2+ε2. Поскольку sin(π2−ε2)<1, то первое слагаемое справа стремится к нулю при n→∞. Поэтому найдется такое N, что для всех n≥N справедливо неравенство (sin(π2−ε2))nπ2<ε2. Итак, для заданного ε>0 мы нашли номер N, начиная с которого ∫0π2sinnxdx<ε. Это означает что limn→∞∫π20sinnxdx=0.
Пример 3. Оценить сверху I≡∫10sinx1+x2dx.
Первый способ.
Применяя первую теорему о среднем, получаем I=11+ξ2∫10sinxdx=11+ξ2(−cosx)∣10=11+ξ2(1−cos1)≤1−cos1.
Второй способ.
В силу первой теоремы о среднем I=sinη∫01dx1+x2=sinηarctanx∣10=π4sinη≤π4sin1.
Пример 4. Оценить интеграл I≡∫BAsinxxdx,0<A<B<+∞.
Первый способ.
Применим вторую теорему о среднем. Для этого обозначим f(x)=1x и g(x)=sinx. Функция f монотонна на [A,B], так что по второй формуле Бонне получаем I=1A∫ξAsinxdx=1A(−cosx)∣ξA=1A(cosA—cosξ). Отсюда следует, что ∣I∣≤2A.
Второй способ.
Применяя первую теорему о среднем, получим I=sinξ∫BAdxx=sinξlnBA. Отсюда следует, что ∣I∣≤lnBA.
Примеры решения задач
Пример 1 Найти среднее значение функции f(x)=sin2x на отрезке [0;2π].
Решение
Пользуясь теоремой о среднем имеем:μ=1b−a∫baf(x)dx=12π∫2π0sin2xdx=14π∫2π0(1−cos2x)dx= =14π(x−12sin2x)∣02π=14π(2π−12sin4π)=12. Итак, μ=12.
Литература
- В. И. Коляда, А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу». — Одесса: Астропринт, 2009, ч.1, раздел 7 «интеграл Римана».(стр. 197 — 203).
- Б. П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997г.
Теоремы о среднем