Задача из журнала «Квант» (2002 год, 5 выпуск)

Условие

Пусть $0 < x < \frac{\pi}{4}$. Докажите, что

$$\left(\cos x\right)^{\cos^2 x} > \left(\sin x\right)^{\sin^2 x},$$ а также $$\left(\cos x\right)^{\cos^4 x} < \left(\sin x\right)^{\sin^4 x}.$$

Доказательство

На первый взгляд кажется, что одно из неравенств противоречит другому, но это не так.

Рассмотрим

$$f(y) = \cos^y x − \sin^y x ,$$ где $0 < x < \frac{\pi}{4}$, $y \geqslant 0$. Имеем: $f(0) = 0$, $f(y) > 0$ при $y > 0$, $f(y) \to 0$ при $y \to \infty$. Далее, $$f'(y) = \cos^y x \ln \cos x − \sin^y x \ln \sin x =\\= \cos^y x\left(\ln \cos x − \mathrm {tg}^y\,x \ln \sin x\right),$$ поэтому $f'(y)$ имеет единственный корень при $y > 0$, так как функция $g(y) = \mathrm {tg}^y\,x$ монотонна. Из равенства $$f(2) = f(2)\left(\cos^2 x + \sin^2 x\right) = f(4)$$ следует, что $f'(2) > 0$, $f'(4) < 0$.

Перепишем первое неравенство:

$$\cos^2 x \ln \cos x > \sin^2 x \ln \sin x ,$$ что эквивалентно первому неравенству задачи. Аналогично, $f'(4) < 0$, или $$\cos^4 x \ln \cos x < \sin^4 x \ln \sin x ,$$ что эквивалентно второму неравенству задачи.

В. Сендеров