1. Единственность предела функции

Как мы говорили с Вами в прошлой статье, единственность предела следует из определения предела функции по Гейне. Однако давайте сформулируем и докажем теорему о единственности предела.

Теорема о единственности предела

Формулировка:

Если функция $f(x)$ в точке $a$ имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

Докажем методом от противного. Предположим, что $\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = b$, $\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = c$, $b \neq c$. Возьмём $\varepsilon = \frac{|b-c|}{2}$, по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая  
$\delta$-окрестность точки $a$ ($\dot{U}_{\delta }(a)$), в которой одновременно будут выполнятся неравенства $|f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}$, $|f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}$ , тогда в точках этой же окрестности $|b-c|=$$|(b-f(x))+$$(f(x)-c)| \leq$$|f(x)-b|+$$|f(x)-c|<$$\frac{|b-c|}{2}+$$\frac{|b-c|}{2}=$$|b-c|.$ Получили противоречие $|b-c| < |b-c|$. Отсюда, функция $f(x)$ в точке $a$ имеет единственный предел.

2. Локальная ограниченность функции, имеющей предел

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел

Формулировка:

Если предел функции $f(x)$ при $x\rightarrow a$ равняется $A$, то найдётся окрестность точки $a$, во всех точках которой функция $f(x)$ ограничена.

Доказательство:

Из определения предела по Коши получим: $\forall \varepsilon >0$ $\exists \delta=\delta(\varepsilon) >0:$$\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$ Возьмём $\varepsilon =1$. Из условия теоремы следует существование окрестности $\dot{U}_{\delta }(a)$. Следовательно, $|f(x)-A|<1$. Перепишем это следующим образом:$A-1<f(x)<A+1$. Легко видеть, что это и означает ограниченность функции $f(x)$.

 Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.52. Определение предела функции. (с. 115-117)

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест по теме Единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 17 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 5

   Если предел функции $$f(x)$$  при $$x\rightarrow a$$ равняется $$A,$$ то найдётся окрестность точки $$a,$$ во всех точках которой функция $$f(x)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 5

   Последовательность действий при доказательстве теоремы о единственности предела.

   • Предположим, что $$\lim_{x\rightarrow a } f(x) = b, \lim_{x\rightarrow a } f(x) = c, b \neq c$$
   • Возьмём $$\varepsilon = \frac{|b-c|}{2}$$
   • Тогда будут выполняться неравенства: $$|f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}, |f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}$$
   • Тогда $$|b-c| = |(b-f(x))+(f(x)-c)|\leq$$ $$\leq|f(x)-b|+|f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}+\frac{|b-c|}{2}=$$ $$=|b-c|$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 7

   Если существует некоторая окрестность точки $a,$ во всех точках которой функция $f(x)$ ограничена, обязательно ли существует предел функции $f(x)$ при $x \rightarrow a$ и притом конечный?
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   Введите «да» или «нет».