Огюстен Луи Коши(1789-1857)
Прежде чем ознакомиться с критерием, вспомним, что значит выражение: «Функция удовлетворяет в точке условию Коши».
Определение:
Будем говорить, что функция =f удовлетворяет в точке =a, условию Коши, если она определена в некоторой проколотой окрестности этой точки и =∀ε>0,∃δ=δε>0:∀x′,x»∈U∘δ(a)⇒|f(x′)−f(x»)|<ε (где =U∘δ(a) -проколотая =δ-окрестсность точки =a). =0<|x′−a|<δ =0<|x»−a|<δ
Теорема(Критерий Коши):
Для того чтобы функция =f(x) имела конечное передельное значение в точке =x=a, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла условию Коши в точке =a.
Доказательство
Необходимость
Докажем, что =f(x) удовлетворяет в точке =x=a условию Коши. Пусть =∃limx→af(x)=A:∀ε>0,∃δε>0:∀x:0<|x−a|<δ⇒|f(x)−A|<ε2 =∀x′,x»∈U∘δ(a): =|f(x′)−f(x»)|=|(f(x′)−A)+(A−f(x»))|≤|f(x′)−A|+|f(x»)−A|<ε2+ε2=ε
Достаточность:
Предположим, что выполняется условие Коши в точке =a . Воспользуемся определением предела функции по Гейне: =limn→axn=a⇒limn→∞f(xn)=A. Пусть ={xn}∞ -произведение последовательности =∈U∘δ(a) и =limn→∞xn=a . Докажем, чтo ={f(xn)}∞n=1 не зависит от выбранного ={xn}. Согласно условию Коши мы имеем следующее: =∀ε>0,∃δε>0:x′,x»∈U∘δ(a)⇒|f(x′)−f(x»)|<ε т.к. =limn→∞xn=a(∀ε>0,∃Nε:∀n≥Nε:|xn−a|<ε) для =δε:∃Nε:∀n≥Nε:0<|xn−a|<δε =∀m≥Nε⇒0<|xm−a|<δε =xn,xm∈U∘δ(a)⇒|f(xn)−f(xm)|<ε -следует из условия Коши. =∀ε>0,∃Nε:∀n,m≥Nε⇒|f(xn)−f(xm)|<ε -={f(xn)} фундаментальная=⇒ по Критерию Коши ={f(xn)}-сходящаяся. Покажем, что все последующие ={f(xn)} будут сходится к одному и тому же числу А. ={f(xn)}→A =xn→a∼f(xn)→A =x′n→a′∼f(x′n)→A′ =x1,x′1,x2,x′2,…→a∼f(x1),f(x′1),f(x2),f(x′2),…→A Теорема доказана.
Рекомендации:
Учебники :
- Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1,§ 4, Тема 4.9 «Критерий Коши существование предела функций» стр.81-84;
- Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 2 «Предел функции» стр.115-136;
- Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1,Глава 4, § 2 «Понятие предельного значения функции» стр.103-110.
Сборники задач:
- Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание,исправленное, Отдел 1, § 5 «Предел функции» стр.47-72;
- Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 2, § 3 «Подполедовательности и частичные пределы.Верхний и нижний пределы последовательности.Фундоментальные последовательности и критерий Коши» стр.38-41.
"Критерий Коши существование предела"
В этом тесте предоставлены вопросы по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить этот тест.
Таблица лучших: "Критерий Коши существование предела"
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Всё Юля, я сдаюсь.
Больше ничего не меняйте.
Слишком большими усилиями мне даются все эти маленькие шаги вперед.
Тем более, что иногда это два шага назад.
Мы уже написали «воспользуемся определением» и ладно. И не будем писать определением чего мы воспользуемся. Конечно можно написать «воспользуемся определением предела». Но тогда я захочу узнать, предела чего? Функции или последовательности?
Я устал щипцами вытягивать из вас информацию. Враги бы у Вас точно ничего не вытянули.
Попробую максимально комплиментарно оценить наши совместные усилия и на этом всё. Буду рад, если Вы смогли вынести что-то полезное из наших споров. Я был бы счастлив даже если бы просто смог Вас убедить ставить пробелы там, где следует. Но, увы…