Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Формулировка

Если функции $f\left( x \right)$ и $g\left(x\right)$ непрерывны на отрезке $[a,b]$ , дифференцируемы на интервале (a,b), причем $g'(x)\neq 0$ во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка $\xi \in (a,b)$ такая, что $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ .

Доказательство

Рассмотрим функцию $\varphi(x)=f(x)+\lambda g(x)$ , где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось равенство $\varphi (a)=\varphi (b)$ , которое равносильно следующему:
$f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0$ .

Заметим, что $g(b)\neq g(a)$ , так как в противном случае согласно Теореме Ролля существовала бы точка $c\in (a,b)$ такая, что $g'(c)=0$ вопреки условиям данной теоремы. Из равенства $f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0$ следует, что $\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ .

Так как функция $\varphi$ при любом $\lambda$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$ , а при значении $\lambda$ , определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках $a$ и $b$ , то по теореме Ролля существует точка $\xi \in (a,b)$ такая, что $\varphi ‘(\xi )=0$ , т.е. $f'(\xi )+\lambda g'(\xi )=0$ , откуда $\frac{f'(\xi )}{g'(\xi )}=-\lambda$ . Из этого равенства и формулы $\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ следует $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ .

Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши $(g(x)=x)$ .
Замечание. Теорему Коши нельзя получить используя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю.