Теорема (о разрывах монотонной функции)

Если функция $f$ определена на отрезке $\left[ a,b \right]$ и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка, точки разрыва 1-го рода, и число точек либо конечно, либо счётно.

Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.

Пусть для определёности $f(x)$ не убывает в промежутке $X$. Возьмём любую точку $a\in X$, не совпадающую с левым концом $X$ , и рассмотрим ту часть $X$ , которая лежит влево от $a$ . При $x\rightarrow a-0, f(x)$ не убывает и ограничена сверху, поскольку $f(x)\leq f(a)$ при $x< a$.

В силу теоремы о пределе монотонной функции заключаем, что существует конечный, а согласно свойству функции, имеющей конечный предел , получим, что$f(a-0)\leq f(a)$.

Если $f(a-0)= f(a)$, то $f(x)$ непрерывна в точке $a$ слева. Аналогично убеждаемся, что в каждой точке$a\in X$, несовпадающей с правым концом$X,f(x)$ либо непрерывна справа, либо имеет конечный предел$f(a+0)> f(a)$. Ход доказательства для невозрастающей на $X$  функции аналогичен.

Итак, во всякой внутренней точке $a$  промежутка $X$  монотонная функция либо имеет точку разрыва первого с конечным скачком $f(a+0)- f(a-0)$, либо непрерывна.

Рекомендации:

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87 ;
• Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрыв функций»  стр.146-167 ;
• Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 8 «Классификация точек разрыва функции»  стр.143-145.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1,§ 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ»   Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58 .

"Разрывность функции"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 8

   Как классифицируются точки разрыва?

   • Точки устранимого разрыва
   • Точки разрыва 1-го рода
   • Точки разрыва 2-го рода
   • Точки разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 6

   Доказательство теоремы о разрыве монотонной функции легко следует из …
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 6

   Закончите выражение!

   • Точкой разрыва называется такая точка в которой функция не является (непрерывной)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 6

   Соотнесите функции с их названиями!

   Элементы сортировки

   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\in \mathbb{Q}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & \text{ } x=\frac{p}{q} ,p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\geq 0,x\in \mathbb{R}\\ 0, & \text{ } x< 0,x\in \mathbb{R} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}-1, & \text{ } x<0\\ 0, & \text{ } x=0, x\in \mathbb{R} \\ 1, & \text{ } x> 0 \end{cases}$$

   • Функция Дирихле

   • Функция Римана

   • Функция с устранимым разрывом

   • Ступенчатая функция

   • Функция знака

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6

   Если существуют конечные односторонние пределы и $=f(a+0)\neq f(a-0)$,то точка $=a$…

   • точка разрыва 1-го рода
   • точка устранимого разрыва
   • точка разрыва 2-го рода
   • точка разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно